Вариант 2 1. В треугольнике АВС ∠B = 90°, АС = 17 см, ВС = 8 см. Найдите: 1) cos C; 2) etg A. CM, sin K = 2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника MNK (∠N = 90°), если MN = 10 5 9 3. Найдите значение выражения cos² 45° + sin274° + cos274°. 4. В прямоугольной трапеции ABCD (BC // AD, ∠A = 90°), АВ = 4 см, BC = 7 см, AD = 9 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла Д трапеции. 5. Высота NF треугольника MNK делит его сторону МК на отрезки MF и FK. Найдите сторону ММ, если FK = 6√3 см, MF = 8 см, ∠K = 30°. 6. * Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между около трапеции, если её высота равна п. диагональю и высотой трапеции равен с. Найдите радиус окружности, описанной

Задание 1

В треугольнике ABC, где ∠B = 90°, AC = 17 см, BC = 8 см, нужно найти cos C и tg A.

Для начала найдем сторону AB по теореме Пифагора:

Шаг 1: Находим AB

\[AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Шаг 2: Находим cos C

\[cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{17}\]

Шаг 3: Находим tg A

\[tg A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{15}\]

Ответ:

• cos C = 8/17
• tg A = 8/15

Задание 2

В прямоугольном треугольнике MNK (∠N = 90°), MN = 10 см, sin K = 5/9. Найдите гипотенузу MK.

Шаг 1: Вспоминаем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике.

\[sin K = \frac{MN}{MK}\]

Шаг 2: Выражаем MK из формулы синуса угла:

\[MK = \frac{MN}{sin K} = \frac{10}{\frac{5}{9}} = 10 \cdot \frac{9}{5} = 2 \cdot 9 = 18\]

Ответ: MK = 18 см

Задание 3

Найдите значение выражения cos² 45° + sin² 74° + cos² 74°.

Шаг 1: Вспоминаем основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 α + cos^2 α = 1\]

Шаг 2: Группируем и упрощаем выражение:

\[cos^2 45° + sin^2 74° + cos^2 74° = cos^2 45° + (sin^2 74° + cos^2 74°) = cos^2 45° + 1\]

Шаг 3: Вспоминаем значение cos 45°:

\[cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 4: Подставляем и вычисляем:

\[(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = 1.5\]

Ответ: 1.5

Задание 4

В прямоугольной трапеции ABCD (BC // AD, ∠A = 90°), AB = 4 см, BC = 7 см, AD = 9 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла D трапеции.

Шаг 1: Проведем высоту CH к основанию AD.

Шаг 2: Найдем HD:

\[HD = AD - BC = 9 - 7 = 2\]

Шаг 3: Рассмотрим треугольник CHD. CH = AB = 4 см.

Шаг 4: Найдем CD по теореме Пифагора:

\[CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Шаг 5: Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла D:

\[sin D = \frac{CH}{CD} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\] \[cos D = \frac{HD}{CD} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\] \[tg D = \frac{CH}{HD} = \frac{4}{2} = 2\] \[ctg D = \frac{1}{tg D} = \frac{1}{2}\]

Ответ:

• sin D = \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
• cos D = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
• tg D = 2
• ctg D = 1/2

Задание 5

Высота NF треугольника MNK делит его сторону MK на отрезки MF и FK. Найдите сторону MN, если FK = 6√3 см, MF = 8 см, ∠K = 30°.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник NFK. tg K = NF/FK.

Шаг 2: Найдем NF:

\[NF = FK \cdot tg K = 6\sqrt{3} \cdot tg 30° = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6 \cdot \frac{3}{3} = 6\]

Шаг 3: Рассмотрим треугольник MNF. По теореме Пифагора MN² = MF² + NF².

Шаг 4: Найдем MN:

\[MN = \sqrt{MF^2 + NF^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\]

Ответ: MN = 10 см