Вариант 1 1. В равнобедренном ДАВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите АВС, если ADB = 120°. 2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежно- го с ним. 3. Сравните углы ДАВС и выясните, может ли быть А ту- пым, если АВ > ВС > АС? 4. Верно ли утверждение: если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный? 5. В равнобедренном ДАВС с основанием АС биссектрисы ДА и ДС пересекаются в точке О. Верно ли утверждение: ДАОС - равносторонний? 6. Периметр равнобедренного треугольника в 4 раза боль- ше основания и на 10 см больше боковой стороны. Най- дите периметр треугольника. 7. Верно ли утверждение: середины сторон равнобедренно- го треугольника являются вершинами другого равно- бедренного треугольника? Вариант 2 1. В равнобедренном ABCD с основанием BD проведена биссектриса ВЕ. Найдите ∠BCD, если ∠ВЕС = 105°. 2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 4 раза меньше внешнего угла, смежно- го с ним. 3. Сравните углы ДАВС и выясните, может ли быть В острым, если АВ > ВC > AC? 4. Верно ли утверждение: если бизде шего угла

1. В равнобедренном \(\triangle ABC\) с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите \(\angle ABC\), если \(\angle ADB = 120^\circ\).

Решение:

• \(\angle ADB\) и \(\angle ADC\) - смежные, значит, в сумме дают 180°.
• Найдем \(\angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
• Так как AD - биссектриса, то \(\angle BAD = \angle CAD\).
• \(\triangle ADC\): \(\angle C + \angle CAD + \angle ADC = 180^\circ\).
• \(\triangle ABC\) - равнобедренный, значит, \(\angle C = \angle BAC = 2 \cdot \angle CAD\).
• Пусть \(\angle CAD = x\), тогда \(\angle C = 2x\).
• Подставим в уравнение для \(\triangle ADC\): \(2x + x + 60^\circ = 180^\circ\).
• \(3x = 120^\circ\).
• \(x = 40^\circ\).
• \(\angle BAC = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\).
• \(\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot 80^\circ = 20^\circ\).

Ответ: \(\angle ABC = 20^\circ\)

2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

Решение:

• Пусть \(\angle\) при основании равен \(x\), тогда внешний угол равен \(3x\).
• Внешний и внутренний углы смежные, значит, \(x + 3x = 180^\circ\).
• \(4x = 180^\circ\).
• \(x = 45^\circ\).
• Углы при основании равны по 45°, а угол при вершине равен \(180^\circ - 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ\).

Ответ: Углы: 45°, 45°, 90°.

3. Сравните углы \(\triangle ABC\) и выясните, может ли быть \(\angle A\) тупым, если AB > BC > AC?

Решение:

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
• AB > BC > AC, значит, \(\angle C > \(\angle A > \(\angle B\).
• Если бы \(\angle A\) был тупым, то \(\angle C\) тоже был бы тупым, и сумма двух углов превышала бы 180°, что невозможно в треугольнике.

Ответ: Нет, \(\angle A\) не может быть тупым.

4. Верно ли утверждение: если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный?

Решение:

• Пусть дан \(\triangle ABC\), биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC.
• Обозначим внешний угол при вершине B как \(\angle CBD\).
• Биссектриса \(BE\) делит угол \(\angle CBD\) пополам, то есть \(\angle CBE = \angle EBD\).
• Так как \(BE \parallel AC\), то \(\angle CBE = \angle BCA\) (накрест лежащие углы) и \(\angle EBD = \angle CBA\) (соответственные углы).
• Следовательно, \(\angle BCA = \angle CBA\), а значит, \(\triangle ABC\) - равнобедренный.

Ответ: Да, утверждение верно.

5. В равнобедренном \(\triangle ABC\) с основанием AC биссектрисы \(\angle A\) и \(\angle C\) пересекаются в точке O. Верно ли утверждение: \(\triangle AOC\) - равносторонний?

Решение:

• В равнобедренном \(\triangle ABC\) углы при основании равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\).
• Так как AO и CO - биссектрисы, то \(\angle OAC = \frac{1}{2} \cdot \angle BAC\) и \(\angle OCA = \frac{1}{2} \cdot \angle BCA\).
• Следовательно, \(\angle OAC = \angle OCA\), и \(\triangle AOC\) - равнобедренный.
• Углы \(\angle OAC\) и \(\angle OCA\) не обязательно равны 60°, поэтому \(\triangle AOC\) не обязательно равносторонний.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

6. Периметр равнобедренного треугольника в 4 раза больше основания и на 10 см больше боковой стороны. Найдите периметр треугольника.

Решение:

• Пусть основание равно \(x\), боковая сторона равна \(y\). Тогда периметр равен \(x + 2y\).
• По условию, периметр в 4 раза больше основания, то есть \(x + 2y = 4x\).
• Также периметр на 10 см больше боковой стороны, то есть \(x + 2y = y + 10\).
• Получаем систему уравнений:
• \(\begin{cases} x + 2y = 4x \\ x + 2y = y + 10 \end{cases}\)
• Из первого уравнения: \(2y = 3x\).
• Из второго уравнения: \(x + y = 10\).
• Подставим \(y = \frac{3}{2}x\) во второе уравнение: \(x + \frac{3}{2}x = 10\).
• \(\frac{5}{2}x = 10\).
• \(x = 4\).
• \(y = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6\).
• Периметр: \(P = x + 2y = 4 + 2 \cdot 6 = 16\).

Ответ: Периметр равен 16 см.

7. Верно ли утверждение: середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника?

Решение:

• Пусть дан равнобедренный \(\triangle ABC\) с основанием AC.
• Обозначим середины сторон AB, BC и AC как D, E и F соответственно.
• Тогда DE - средняя линия \(\triangle ABC\), DE \parallel AC и DE = \frac{1}{2}AC.
• Аналогично, DF - средняя линия \(\triangle ABC\), DF \parallel BC и DF = \frac{1}{2}BC.
• EF - средняя линия \(\triangle ABC\), EF \parallel AB и EF = \frac{1}{2}AB.
• Так как AB = BC, то EF = DF, и \(\triangle DEF\) - равнобедренный.

Ответ: Да, утверждение верно.

1. В равнобедренном \(\triangle BCD\) с основанием BD проведена биссектриса BE. Найдите \(\angle BCD\), если \(\angle BEC = 105^\circ\).

Решение:

• \(\angle BEC\) и \(\angle BEA\) - смежные, значит, в сумме дают 180°.
• Найдем \(\angle BEA = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\).
• \(\triangle BCD\) - равнобедренный, значит, \(\angle CBD = \angle BCD\).
• Так как BE - биссектриса, то \(\angle CBE = \angle EBA\).
• В равнобедренном \(\triangle BCD\) биссектриса BE является также высотой и медианой, то есть \(BE \perp CD\) и \(\angle BEC = 90^\circ\), что противоречит условию \(\angle BEC = 105^\circ\).
• Значит, \(\triangle BCD\) - не равнобедренный с основанием BD.
• Тогда надо считать, что \(\triangle BCD\) - равнобедренный с основанием BC или CD.
• Пусть \(\triangle BCD\) - равнобедренный с основанием BC, то есть \(BD = CD\).
• Тогда \(\angle CBD = \angle BCD\).
• В \(\triangle BEC\): \(\angle BCE + \angle CBE + \angle BEC = 180^\circ\).
• \(\angle BCE = \angle BCD\), \(\angle CBE = \frac{1}{2} \cdot \angle CBD = \frac{1}{2} \cdot \angle BCD\).
• \(\angle BCD + \frac{1}{2} \cdot \angle BCD + 105^\circ = 180^\circ\).
• \(\frac{3}{2} \cdot \angle BCD = 75^\circ\).
• \(\angle BCD = 50^\circ\).

Ответ: \(\angle BCD = 50^\circ\)

2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 4 раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

Решение:

• Пусть \(\angle\) при основании равен \(x\), тогда внешний угол равен \(4x\).
• Внешний и внутренний углы смежные, значит, \(x + 4x = 180^\circ\).
• \(5x = 180^\circ\).
• \(x = 36^\circ\).
• Углы при основании равны по 36°, а угол при вершине равен \(180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ\).

Ответ: Углы: 36°, 36°, 108°.

3. Сравните углы \(\triangle ABC\) и выясните, может ли быть \(\angle B\) острым, если AB > BC > AC?

Решение:

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
• AB > BC > AC, значит, \(\angle C > \(\angle A > \(\angle B\).
• Если \(\angle B\) острый, то углы \(\angle C\) и \(\angle A\) могут быть любыми (острым, прямым или тупым), главное, чтобы сумма углов равнялась 180°.

Ответ: Да, \(\angle B\) может быть острым.

4. Верно ли утверждение: если биссектриса внешнего угла

Решение:

Текст обрывается, невозможно решить задание.

Ответ: Решение невозможно.