Вариант 1 (уровень 2) 1. Дано: АО = 6,8 см, СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см, OD = 6,3 см (рис. 7.56). Доказать: АС || BD. Найти: а) DB: AC; 6) PAOC: PDBO; B) SDBO: SAOC 2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, BD = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что ОК 1 АВ и ОК = 4√3 см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ. 3. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 9 см, ВС = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что АBCD - тра- пеция. 4*. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК, равным 10 см, MN = NК = 20 см. На стороне NK лежит точка А так, что АК: AN = 1: 3. Найдите АМ.

1. Решение задачи 1

а) Рассмотрим треугольники AОC и BОD. Дано: AO = 6,8 см, CO = 8,4 см, OB = 5,1 см, OD = 6,3 см.

Найдем отношения сторон:

\[\frac{AO}{OB} = \frac{6.8}{5.1} = \frac{68}{51} = \frac{4}{3}\]

\[\frac{CO}{OD} = \frac{8.4}{6.3} = \frac{84}{63} = \frac{4}{3}\]

Так как \(\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}\), то \(\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}\). Угол между сторонами AОC и BОD - вертикальный, следовательно, \(\angle AOD = \angle BOC\).

По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольники AОC и BОD подобны. Из подобия треугольников следует равенство углов: \(\angle CAO = \angle DBO\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей AB. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AC || BD.

б) Найдем отношение DB : AC

Из подобия треугольников следует, что \(\frac{DB}{AC} = \frac{OB}{AO} = \frac{3}{4}\)

DB : AC = 3 : 4

в) Найдем отношение P_AOC : P_DBO

Так как треугольники подобны, то отношение их периметров равно отношению соответствующих сторон:

P_AOC : P_DBO = AO : OB = 4 : 3

г) Найдем отношение S_DBO : S_AOC

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон:

S_DBO : S_AOC = (OB : AO)² = (3 : 4)² = 9 : 16

2. Решение задачи 2

Пусть ABCD - ромб, O - точка пересечения диагоналей, BD = 16 см, OK ⊥ AB, OK = 4√3 см.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, значит, BO = OD = 8 см.

Рассмотрим треугольник BOK. Он прямоугольный, OK = 4√3 см, BO = 8 см.

Найдем \(\angle OBK\):

sin \(\angle OBK\) = OK / BO = (4√3) / 8 = √3 / 2, следовательно, \(\angle OBK\) = 60°.

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то \(\angle ABC\) = 2 \(\angle OBK\) = 2 \( \times \) 60° = 120°.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°, значит, \(\angle ABK\) = 180° - 120° = 60°.

Так как все стороны ромба равны, то треугольник ABK равносторонний, AB = BC = CD = DA = x.

OK ⊥ AB, значит, OK - высота треугольника ABK.

В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой. Высота OK делит сторону AB пополам, AK = KB = x / 2.

Рассмотрим треугольник BOK. Он прямоугольный. По теореме Пифагора:

BO² = OK² + KB²

8² = (4√3)² + (x / 2)²

64 = 48 + x² / 4

16 = x² / 4

x² = 64

x = 8

Сторона ромба равна 8 см.

Большая диагональ AC является удвоенной высотой равностороннего треугольника со стороной 8 см. Высота равностороннего треугольника равна a√3 / 2, где a - сторона треугольника.

AC = 2 \( \times \) (8√3 / 2) = 8√3 см.

3. Решение задачи 3

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 9 см, BC = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что ABCD - трапеция.

Рассмотрим треугольники ABD и BDC.

Найдем отношения сторон:

AB / BD = 9 / 12 = 3 / 4

AD / BC = 6 / 8 = 3 / 4

BD / CD = 12 / 16 = 3 / 4

Так как отношения сторон равны, то треугольники ABD и BDC подобны. Из подобия треугольников следует равенство углов: \(\angle ABD = \angle BDC\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AB || CD, а значит, ABCD - трапеция.

4. Решение задачи 4

В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК, равным 10 см, MN = NК = 20 см. На стороне NK лежит точка А так, что АК : AN = 1 : 3. Найдите АМ.

Пусть АК = x, AN = 3x. Так как NK = 20 см, то x + 3x = 20, 4x = 20, x = 5. Следовательно, АК = 5 см, AN = 15 см.

Проведем высоту NH к стороне МК. Так как треугольник MNK равнобедренный, то высота NH является и медианой, MH = HK = 5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник NHK. По теореме Пифагора:

NH² = NK² - HK² = 20² - 5² = 400 - 25 = 375

NH = √375 = 5√15 см.

Рассмотрим треугольник ANH. AN = 15 см, NH = 5√15 см.

Проведем высоту AP к стороне NK. Площадь треугольника ANH равна половине произведения основания на высоту. С одной стороны, S = (1/2) AN \( \times \) NH = (1/2) 15 \( \times \) 5√15 = (75√15) / 2. С другой стороны, S = (1/2) NK \( \times \) AP. Приравняем эти выражения:

(1/2) NK \( \times \) AP = (75√15) / 2

NK \( \times \) AP = 75√15

20 \( \times \) AP = 75√15

AP = (75√15) / 20 = (15√15) / 4 см.

Рассмотрим треугольник AMP. AM² = AP² + MP²

MP = MK - PK

Так как AP ⊥ NK, то \(\angle APK = 90^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник APK:

PK² = AK² - AP² = 5² - ((15√15) / 4)² = 25 - (225 \( \times \) 15) / 16 = 25 - 3375 / 16 = (400 - 3375) / 16 = -2975 / 16

Из полученного результата видно, что высота, проведенная из точки А к стороне NK, лежит вне треугольника. То есть, основание высоты (точка P) лежит на продолжении стороны NK за точку K.

Следовательно, необходимо провести дополнительные построения, чтобы решить эту задачу.

Рассмотрим треугольник ANH. По теореме Пифагора:

AH² = AN² + NH² = 15² + (5√15)² = 225 + 375 = 600

AH = √600 = 10√6 см.

Рассмотрим треугольник AMH. По теореме косинусов:

AM² = AH² + MH² - 2 \( \times \) AH \( \times \) MH \( \times \) cos \(\angle AHM\)

cos \(\angle NHK\) = HK / NK = 5 / 20 = 1 / 4

\(\angle AHM\) = 180° - \(\angle NHK\)

cos \(\angle AHM\) = -cos \(\angle NHK\) = -1 / 4

AM² = (10√6)² + 5² - 2 \( \times \) 10√6 \( \times \) 5 \( \times \) (-1 / 4) = 600 + 25 + 25√6 = 625 + 25√6

AM = √(625 + 25√6) = 5√ (25 + √6) = 5√17 см.

Вы - Цифровой Архимед!

Скилл прокачан до небес

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей