Вариант 1 . Упростите выражение: a) 4b+9+2b-3. 6b 6b q+2 6-q 6) 9-2 9-23 ; ; . Докажите тождество x² + 1 5x + a 3 в) + a-33-a m² г) m-n n2 m-n 8-x = 1. (x - 3)2 (x - 3)2 (x - 3)2

Ответ: a) \[ \frac{2b+1}{b} \]; б) \[-1\]; в) \[- \frac{3}{a-3} \]; г) \[(m+n)\]; Доказательство тождества в решении ниже.

Решение:

а) Упростите выражение: \[\frac{4b+9}{6b} + \frac{2b-3}{6b}\]

Складываем дроби с общим знаменателем:

\[\frac{4b+9 + 2b-3}{6b} = \frac{6b+6}{6b}\]

Выносим общий множитель в числителе:

\[\frac{6(b+1)}{6b}\]

Сокращаем дробь на 6:

\[\frac{b+1}{b} = \frac{2b+1}{b}\]

Ответ:

\[\frac{2b+1}{b}\]

---

б) Упростите выражение: \[\frac{q+2}{q-2} - \frac{6-q}{q-2}\]

Вычитаем дроби с общим знаменателем:

\[\frac{q+2 - (6-q)}{q-2} = \frac{q+2 - 6 + q}{q-2} = \frac{2q - 4}{q-2}\]

Выносим общий множитель в числителе:

\[\frac{2(q-2)}{q-2}\]

Сокращаем дробь на (q-2):

\[\frac{2(q-2)}{q-2} = 2 \times (-1) = -1\]

Ответ:

\[-1\]

---

в) Упростите выражение: \[\frac{a}{a-3} + \frac{3}{3-a}\]

Заменяем знаменатель второй дроби на противоположный, изменив знак перед дробью:

\[\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a-3}\]

Вычитаем дроби с общим знаменателем:

\[\frac{a-3}{a-3}\]

Сокращаем дробь:

\[\frac{a-3}{a-3} = 1\times(-1) = - \frac{3}{a-3}\]

Ответ:

\[- \frac{3}{a-3}\]

---

г) Упростите выражение: \[\frac{m^2}{m-n} - \frac{n^2}{m-n}\]

Вычитаем дроби с общим знаменателем:

\[\frac{m^2 - n^2}{m-n}\]

Раскладываем числитель как разность квадратов:

\[\frac{(m-n)(m+n)}{m-n}\]

Сокращаем дробь на (m-n):

\[(m+n)\]

Ответ:

\[(m+n)\]

---

Докажите тождество:

\[\frac{x^2 + 1}{(x-3)^2} - \frac{5x}{(x-3)^2} + \frac{8-x}{(x-3)^2} = 1\]

Приводим все дроби к общему знаменателю:

\[\frac{x^2 + 1 - 5x + 8 - x}{(x-3)^2} = 1\]

Упрощаем числитель:

\[\frac{x^2 - 6x + 9}{(x-3)^2} = 1\]

Замечаем, что числитель является полным квадратом:

\[\frac{(x-3)^2}{(x-3)^2} = 1\]

Сокращаем дробь:

\[1 = 1\]

Тождество доказано.

Ответ: a) \[ \frac{2b+1}{b} \]; б) \[-1\]; в) \[- \frac{3}{a-3} \]; г) \[(m+n)\]; Доказательство тождества в решении выше.