Вариант 1. 1. Сформулируйте свойство касательной. 2. К окружности с центром О проведена касательная АК (А — точка касания). Найдите отрезок АК, если ОА = 6 см, а ∠ОАК = 30°? (Подсказка: треугольник ОАК прямоугольный, нужно вспомнить свойство катета против угла 30°). Вариант 2. 1. Сформулируйте признак касательной. 2. К окружности с центром О проведена касательная СД (С — точка касания). Найдите отрезок ОС, если СД = 8 см, а ∠СОД = 45°? (Подсказка: треугольник ОСД прямоугольный и равнобедренный).

Ответ: Вариант 1.1: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Вариант 1.2: \(AK = 6\sqrt{3}\) см. Вариант 2.1: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной. Вариант 2.2: \(OC = 8\sqrt{2}\) см.

Вариант 1

1. Свойство касательной:

   • Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Дано:

   • Окружность с центром O
   • AK - касательная (A - точка касания)
   • \(OA = 6\) см
   • \(\angle OAK = 30^\circ\)

   Найти: AK

   Решение:

   • Т.к. AK - касательная, то \(OA \perp AK\), следовательно, треугольник OAK - прямоугольный с прямым углом A.
   • В прямоугольном треугольнике OAK: \(\angle AOK = 90^\circ - \angle OAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
   • Используем тангенс угла \(\angle AOK\): \[\tan(\angle AOK) = \frac{AK}{OA}\]
   • Выражаем AK: \[AK = OA \cdot \tan(\angle AOK) = 6 \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3}\]
   • Следовательно, \(AK = 6\sqrt{3}\) см.

Вариант 2

1. Признак касательной:

   • Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

2. Дано:

   • Окружность с центром O
   • CD - касательная (C - точка касания)
   • \(CD = 8\) см
   • \(\angle COD = 45^\circ\)

   Найти: OC

   Решение:

   • Т.к. CD - касательная, то \(OC \perp CD\), следовательно, треугольник OCD - прямоугольный с прямым углом C.
   • В прямоугольном треугольнике OCD, т.к. \(\angle COD = 45^\circ\), то \(\angle ODC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\), значит, треугольник OCD - равнобедренный (\(OC = CD\)).
   • Используем теорему Пифагора: \[OC^2 + CD^2 = OD^2\]
   • Т.к. \(OC = CD\), то \[2 \cdot OC^2 = OD^2\]
   • Из прямоугольного треугольника OCD: \[\tan(\angle COD) = \frac{CD}{OC} = 1\] Тогда \(OC = CD = 8\).
   • Рассмотрим треугольник ОСD. Так как он прямоугольный и углы при гипотенузе равны 45 градусов, то это равнобедренный треугольник, и ОС=СD=8.
   • Тогда по теореме Пифагора: \[OD^2 = OC^2 + CD^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128\] Следовательно, \(OD = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\).
   • Искомый отрезок ОС можно найти через синус угла \(\angle D\): \[\sin(\angle D) = \frac{OC}{OD}\] Тогда \(OC = OD \cdot \sin(45^\circ) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\)
   • Другой вариант решения: Поскольку треугольник OCD равнобедренный, то \(OC = CD = 8\) см, а значит, \(OD = OC \sqrt{2}=8\sqrt{2}\) см.

Ответ: Вариант 1.1: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Вариант 1.2: \(AK = 6\sqrt{3}\) см. Вариант 2.1: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной. Вариант 2.2: \(OC = 8\sqrt{2}\) см.