Вариант 2 1. Решите систему уравнений: x+y=3. x²+y²=29. 2. Площадь прямоугольника равна 12 дм², а его периметр равен 14 дм. Найдите стороны прямоугольника. 3. Решите графически систему уравнений: x²+y²=25, xy=12.

Вариант 2

1. Решим систему уравнений: \[\begin{cases}x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 29\end{cases}\] Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения: \(y = 3 - x\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[x^2 + (3 - x)^2 = 29\] Раскроем скобки: \[x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29\] Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение: \[2x^2 - 6x - 20 = 0\] Разделим обе части уравнения на 2: \[x^2 - 3x - 10 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\). Тогда корни: \[x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2\] Теперь найдем соответствующие значения \(y\): Если \(x_1 = 5\), то \(y_1 = 3 - 5 = -2\). Если \(x_2 = -2\), то \(y_2 = 3 - (-2) = 5\).

Ответ: (5; -2), (-2; 5).

2. Площадь прямоугольника равна 12 дм², а его периметр равен 14 дм. Найдите стороны прямоугольника. Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Тогда у нас есть два уравнения: \[ab = 12\] \[2(a + b) = 14\] Из второго уравнения следует, что \(a + b = 7\). Теперь у нас есть система: \[\begin{cases}a + b = 7 \\ ab = 12\end{cases}\] Выразим \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \(b = 7 - a\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[a(7 - a) = 12\] Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: \[7a - a^2 = 12\] \[a^2 - 7a + 12 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\). Тогда корни: \[a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3\] Теперь найдем соответствующие значения \(b\): Если \(a_1 = 4\), то \(b_1 = 7 - 4 = 3\). Если \(a_2 = 3\), то \(b_2 = 7 - 3 = 4\).

Ответ: 4 дм и 3 дм.

3. Решите графически систему уравнений: \[\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12\end{cases}\] Построим графики этих уравнений. Первое уравнение \(x^2 + y^2 = 25\) — это окружность с центром в начале координат и радиусом 5, а второе уравнение \(xy = 12\) — гипербола. Окружность \(x^2 + y^2 = 25\) имеет центр в точке \((0, 0)\) и радиус \(5\). Гипербола \(xy = 12\) имеет ветви в первом и третьем квадрантах. Графически найдем точки пересечения окружности и гиперболы. Это точки \((3, 4)\), \((4, 3)\), \((-3, -4)\) и \((-4, -3)\).

Ответ: (3; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3).