Вариант 36 1. Решите неравенство x²-14x-15 > 0. 10-4x 2. Решите уравнение lg (x + 3) = 3+ 2 lg 5. 3. Докажите тождество sin a = 1 + cos a 1- cos a sin a 4. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 16). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях х f(x) ≤ 0,5; в) в каких точках графика касательные к нему параллель- ны оси абсцисс; г) промежутки возрастания и промежутки убывания функ- ции; д) наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Найдите первообразную функции f(x) = x - 2x³, график которой пересекает ось ординат в точке (0; 3). Рис. 16

Ответ: Сейчас все решим!

1. Решение неравенства

\[\frac{x^2 - 14x - 15}{10 - 4x} > 0\]

Разложим числитель на множители:

\[x^2 - 14x - 15 = (x - 15)(x + 1)\]

Тогда неравенство примет вид:

\[\frac{(x - 15)(x + 1)}{10 - 4x} > 0\]

Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак у x в знаменателе:

\[\frac{(x - 15)(x + 1)}{4x - 10} < 0\]

Найдем нули числителя и знаменателя:

\[x - 15 = 0 \Rightarrow x = 15\]

\[x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\]

\[4x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{4} = 2.5\]

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

   +       -       +       -
------(-1)-----(2.5)-----(15)-----> x

Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля:

\[x \in (-\infty; -1) \cup (2.5; 15)\]

2. Решение уравнения

\[\lg (x + 3) = 3 + 2 \lg 5\]

\[\lg (x + 3) = 3 + \lg 5^2\]

\[\lg (x + 3) = 3 + \lg 25\]

\[\lg (x + 3) = \lg 1000 + \lg 25\]

\[\lg (x + 3) = \lg (1000 \cdot 25)\]

\[\lg (x + 3) = \lg 25000\]

Тогда:

\[x + 3 = 25000\]

\[x = 25000 - 3\]

\[x = 24997\]

3. Доказательство тождества

\[\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}\]

Умножим обе части на \[\sin \alpha (1 - \cos \alpha)\]:

\[\sin^2 \alpha = (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)\]

\[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\]

По основному тригонометрическому тождеству: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

\[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\]

Следовательно, тождество доказано.

4. Анализ графика функции

а) Область определения функции: \[x \in [-2; 6]\]

б) \[f(x) \le 0.5\] при \[x \in [-1; 1] \cup [5; 6]\]

в) Касательные параллельны оси абсцисс в точках локальных экстремумов: примерно x = -1.5, x = 3, x = 5

г) Промежутки возрастания: \[x \in [-2; -1.5] \cup [1; 3]\]; промежутки убывания: \[x \in [-1.5; 1] \cup [3; 6]\]

д) Наибольшее значение функции: примерно 3; наименьшее значение функции: примерно -1

5. Нахождение первообразной функции

\[f(x) = x - 2x^3\]

Первообразная:

\[F(x) = \int (x - 2x^3) dx = \frac{x^2}{2} - \frac{2x^4}{4} + C = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + C\]

График проходит через точку (0; 3):

\[F(0) = \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{2} + C = 3\]

\[C = 3\]

Тогда первообразная:

\[F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + 3\]

Ответ:

1. \[x \in (-\infty; -1) \cup (2.5; 15)\]

2. \[x = 24997\]

3. Тождество доказано

4.

а) \[x \in [-2; 6]\]

б) \[f(x) \le 0.5\] при \[x \in [-1; 1] \cup [5; 6]\]

в) x = -1.5, x = 3, x = 5

г) возрастания: \[x \in [-2; -1.5] \cup [1; 3]\]; убывания: \[x \in [-1.5; 1] \cup [3; 6]\]

д) Наибольшее значение функции: примерно 3; наименьшее значение функции: примерно -1

5. \[F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + 3\]

Result Card (Benefit + Praise)

Ты – «Цифровой атлет»!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей