ВАРИАНТ 2 1 Радиус основания конуса равен 6 м, а высота 8 м. Найдите образующую и площадь осевого сечения. 2 Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом в 30° и равна 8 см. Найдите высоту конуса и площадь осевого сечения. 3 Радиус шара равен 15 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 12 см. 4 Диагональ осевого сечения цилиндра равна √72 см, радиус основания – 3 см. Найдите высоту цилиндра 5 Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

Ответ: Будут предоставлены решения задач из варианта 2.

Задание 1

• Дано: радиус основания конуса \( r = 6 \) м, высота \( h = 8 \) м.
• Найти: образующую \( l \) и площадь осевого сечения \( S \).

Решение:

Образующая конуса:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] (м)

Площадь осевого сечения (равнобедренного треугольника):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot h = 6 \cdot 8 = 48 \] (м²)

Ответ к заданию 1:

Образующая \( l = 10 \) м, площадь осевого сечения \( S = 48 \) м².

Задание 2

• Дано: образующая конуса \( l = 8 \) см, угол наклона к плоскости основания \( \alpha = 30^\circ \).
• Найти: высоту конуса \( h \) и площадь осевого сечения \( S \).

Решение:

Высота конуса:

\[ h = l \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \] (см)

Радиус основания конуса:

\[ r = l \cdot \cos(\alpha) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \] (см)

Площадь осевого сечения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} \] (см²)

Ответ к заданию 2:

Высота \( h = 4 \) см, площадь осевого сечения \( S = 16\sqrt{3} \) см².

Задание 3

• Дано: радиус шара \( R = 15 \) см, расстояние от центра шара до плоскости сечения \( d = 12 \) см.
• Найти: площадь сечения шара \( S \).

Решение:

Радиус сечения:

\[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \] (см)

Площадь сечения:

\[ S = \pi r^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \] (см²)

Ответ к заданию 3:

Площадь сечения \( S = 81\pi \) см².

Задание 4

• Дано: диагональ осевого сечения цилиндра \( d = \sqrt{72} \) см, радиус основания \( r = 3 \) см.
• Найти: высоту цилиндра \( h \).

Решение:

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ которого равна \( \sqrt{72} \). Тогда:

\[ h = \sqrt{d^2 - (2r)^2} = \sqrt{(\sqrt{72})^2 - (2 \cdot 3)^2} = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6 \] (см)

Ответ к заданию 4:

Высота цилиндра \( h = 6 \) см.

Задание 5

• Дано: высота цилиндра \( h = 8 \) дм, радиус основания \( r = 5 \) дм, в сечении получился квадрат.
• Найти: расстояние от этого сечения до оси цилиндра \( d \).

Решение:

Так как в сечении получился квадрат, то сторона квадрата равна высоте цилиндра, то есть 8 дм. Половина стороны квадрата равна 4 дм.

Расстояние от оси цилиндра до сечения:

\[ d = \sqrt{r^2 - (h/2)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \] (дм)

Ответ к заданию 5:

Расстояние от сечения до оси цилиндра \( d = 3 \) дм.

Ответ: Будут предоставлены решения задач из варианта 2.