1, Вариант 1 1. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁A. Найдите периметр построенного сечения, если ребро куба равно 2 см. 2. Прямые а и в параллельны, точка А не лежит на этих прямых. Через точку А проведите плоскость а, параллельную каждой из данных прямых. 3. Прямые АВ и CD – скрещивающиеся. Могут ли прямые АС и BD пересекаться? Ответ объясните.

Ответ:

Решение:

1. Построение сечения куба

   Чтобы построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через ребро CC₁ и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁A, нужно:

   • Найти точку O – точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁A.
   • Провести прямую через точки C₁ и O.
   • Продлить эту прямую до пересечения с ребром A₁D₁ (или его продолжением) в точке E.
   • Соединить точку E с точкой C.
   • Полученная фигура C₁COE – искомое сечение.

   Сечением является прямоугольник, так как CC₁ перпендикулярно плоскости основания, а OE параллельна AD.

2. Нахождение периметра сечения

   Если ребро куба равно 2 см, то CC₁ = 2 см. Точка O является серединой диагонали AA₁D₁A, следовательно, AO = \(\frac{1}{2}\) диагонали грани.

   Диагональ грани куба равна \(2\sqrt{2}\) см, так как это диагональ квадрата со стороной 2 см. Значит, AO = \(\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) см.

   Так как OE параллельна AD и проходит через середину диагонали, то OE = \(\frac{1}{2}\) AD = 1 см.

   Периметр сечения C₁COE равен 2(CC₁ + OE) = 2(2 + 1) = 6 см.

3. Построение плоскости α

   Для построения плоскости α, параллельной двум параллельным прямым a и b, через точку A, не лежащую на этих прямых, нужно:

   • Провести через точку A прямую a₁, параллельную прямой a.
   • Провести через точку A прямую b₁, параллельную прямой b.
   • Плоскость, проходящая через прямые a₁ и b₁, будет искомой плоскостью α.

   Эта плоскость будет параллельна обеим прямым a и b по определению.

4. Пересечение прямых AC и BD

   Прямые AB и CD – скрещивающиеся. Прямые AC и BD могут пересекаться, если они лежат в одной плоскости. В данном случае, прямые AC и BD лежат в плоскости ABCD, которая является основанием куба.

   Поскольку ABCD – квадрат, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая является центром квадрата. Таким образом, прямые AC и BD пересекаются.

Ответ:

• Периметр сечения равен 6 см.
• Плоскость α строится проведением через точку A двух прямых, параллельных a и b.
• Прямые AC и BD пересекаются, так как лежат в одной плоскости и являются диагоналями квадрата.