Вариант 2. 1. Найдите значение выражения 2. Известно, что a > b > 0.Какое из указанных утверждений верно? В ответе укажите номер правильного варианта. 1) 2a+1<0 2)-a-b 3) 2b2a 4) 1-a<1-b √3. 3. Найдите значение выражения 30а - 5(а + 3)2 при а = x+7 x-11= 7 4. Решите уравнение 5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции. 6. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле СC = 6000+4100 п, где п число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 10 колец. Ответ дайте в рублях. 7. Найдите наименьшее значение х, удовлетворяющее системе неравенств 2x+12 ≥ 0, x+5≤2. 8. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 8 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд? Вторая часть. 9. Решите систему уравнений 3x² + 2y² = 50, 12x²+8y2 { = 50x. 10. Из мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А. а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

1. Найдите значение выражения

Прежде всего, упростим выражение в скобках:

\[\frac{11}{10} + \frac{11}{13} = \frac{11 \cdot 13 + 11 \cdot 10}{10 \cdot 13} = \frac{143 + 110}{130} = \frac{253}{130}\]

Теперь разделим полученную дробь на \(\frac{22}{39}\):

\[\frac{253}{130} : \frac{22}{39} = \frac{253}{130} \cdot \frac{39}{22} = \frac{253 \cdot 39}{130 \cdot 22} = \frac{11 \cdot 23 \cdot 3 \cdot 13}{10 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11} = \frac{23 \cdot 3}{10 \cdot 2} = \frac{69}{20} = 3.45\]

Ответ: 3.45

2. Известно, что a > b > 0. Какое из указанных утверждений верно?

Дано: \(a > b > 0\)

Проверим каждое из утверждений:

1. \(2a + 1 < 0\): Так как \(a > 0\), то \(2a + 1\) всегда больше 0. Это утверждение неверно.

2. \(-a > -b\): Умножим обе части неравенства \(a > b\) на -1. Получим \(-a < -b\). Это утверждение неверно.

3. \(2b > 2a\): Разделим обе части на 2. Получим \(b > a\). Это противоречит условию \(a > b\). Это утверждение неверно.

4. \(1 - a < 1 - b\): Вычтем 1 из обеих частей. Получим \(-a < -b\). Умножим обе части на -1. Получим \(a > b\). Это соответствует условию. Это утверждение верно.

Ответ: 4) 1-a < 1-b

3. Найдите значение выражения при \(a = \sqrt{3}\).

Подставим \(a = \sqrt{3}\) в выражение:

\[30a - 5(a + 3)^2 = 30\sqrt{3} - 5(\sqrt{3} + 3)^2\]

\[= 30\sqrt{3} - 5((\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3 + 3^2)\]

\[= 30\sqrt{3} - 5(3 + 6\sqrt{3} + 9)\]

\[= 30\sqrt{3} - 5(12 + 6\sqrt{3})\]

\[= 30\sqrt{3} - 60 - 30\sqrt{3}\]

\[= -60\]

Ответ: -60

4. Решите уравнение

\[x - 11 = \frac{x + 7}{7}\]

Умножим обе части на 7:

\[7(x - 11) = x + 7\]

\[7x - 77 = x + 7\]

\[6x = 84\]

\[x = 14\]

Ответ: 14

5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

Всего спортсменов: \(11 + 6 + 3 = 20\)

Спортсменов из Норвегии или Швеции: \(6 + 3 = 9\)

Вероятность: \(P = \frac{9}{20} = 0.45\)

Ответ: 0.45

6. В фирме «Родник» стоимость колодца рассчитывается по формуле \(C = 6000 + 4100n\), где n - число колец. Рассчитайте стоимость колодца из 10 колец.

Подставим \(n = 10\) в формулу:

\[C = 6000 + 4100 \cdot 10 = 6000 + 41000 = 47000\]

Ответ: 47000 рублей

7. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

\[\begin{cases} 2x + 12 \geq 0, \\ x + 5 \leq 2. \end{cases}\]

Решим первое неравенство:

\[2x \geq -12\]

\[x \geq -6\]

Решим второе неравенство:

\[x \leq -3\]

Наименьшее целое значение x, удовлетворяющее обоим неравенствам: \(x = -6\)

Ответ: -6

8. Камень бросают в глубокое ущелье. В первую секунду он пролетает 8 метров, в каждую следующую на 10 метров больше. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Это арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 8\), разность \(d = 10\) и количество членов \(n = 6\).

Найдем сумму первых шести членов:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)\]

\[S_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 8 + (6 - 1) \cdot 10)\]

\[S_6 = 3(16 + 50)\]

\[S_6 = 3 \cdot 66 = 198\]

Ответ: 198 метров

9. Решите систему уравнений

\[\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50, \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 4:

\[12x^2 + 8y^2 = 200\]

Теперь у нас есть:

\[\begin{cases} 12x^2 + 8y^2 = 200, \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x. \end{cases}\]

Следовательно:

\[50x = 200\]

\[x = 4\]

Подставим \(x = 4\) в первое уравнение:

\[3(4)^2 + 2y^2 = 50\]

\[48 + 2y^2 = 50\]

\[2y^2 = 2\]

\[y^2 = 1\]

\[y = \pm 1\]

Ответ: (4, 1) и (4, -1)

10. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Пусть \(t_1\) - время мотоциклиста из A в B, \(t_2\) - время велосипедиста из B в A.

Тогда \(t_1 = t_2 - \frac{40}{60} = t_2 - \frac{2}{3}\).

Они встретились через 15 минут, то есть \(\frac{1}{4}\) часа.

Пусть \(v_1\) - скорость мотоциклиста, \(v_2\) - скорость велосипедиста, \(S\) - расстояние между A и B.

Тогда \(v_1 = \frac{S_1}{\frac{1}{4}}\) и \(v_2 = \frac{S_2}{\frac{1}{4}}\, где \(S_1\) и \(S_2\) - расстояния, которые проехали мотоциклист и велосипедист до встречи.

\(S_1 + S_2 = S\).

Время в пути мотоциклиста \(t_1 = \frac{S}{v_1}\) и время в пути велосипедиста \(t_2 = \frac{S}{v_2}\).

Имеем систему уравнений:

\[\begin{cases} t_1 = t_2 - \frac{2}{3}, \\ \frac{S_1}{\frac{1}{4}} = v_1, \\ \frac{S_2}{\frac{1}{4}} = v_2, \\ S_1 + S_2 = S, \\ t_1 = \frac{S}{v_1}, \\ t_2 = \frac{S}{v_2}. \end{cases}\]

Имеем \(S_1 = v_1 \cdot \frac{1}{4}\), \(S_2 = v_2 \cdot \frac{1}{4}\).

Подставим в уравнение \(S_1 + S_2 = S\):

\[v_1 \cdot \frac{1}{4} + v_2 \cdot \frac{1}{4} = S\]

\[\frac{1}{4}(v_1 + v_2) = S\]

Тогда \(S = \frac{1}{4}(v_1 + v_2)\)

\[t_1 = \frac{\frac{1}{4}(v_1 + v_2)}{v_1} = \frac{1}{4}(1 + \frac{v_2}{v_1})\]

\[t_2 = \frac{\frac{1}{4}(v_1 + v_2)}{v_2} = \frac{1}{4}(1 + \frac{v_1}{v_2})\]

Тогда \(t_1 = t_2 - \frac{2}{3}\) принимает вид:

\[\frac{1}{4}(1 + \frac{v_2}{v_1}) = \frac{1}{4}(1 + \frac{v_1}{v_2}) - \frac{2}{3}\]

\[\frac{1}{4} + \frac{v_2}{4v_1} = \frac{1}{4} + \frac{v_1}{4v_2} - \frac{2}{3}\]

\[\frac{v_2}{4v_1} - \frac{v_1}{4v_2} = - \frac{2}{3}\]

\[\frac{v_2^2 - v_1^2}{4v_1v_2} = - \frac{2}{3}\]

\[3(v_2^2 - v_1^2) = -8v_1v_2\]

\[3v_2^2 + 8v_1v_2 - 3v_1^2 = 0\]

Разделим на \(v_1^2\):

\[3(\frac{v_2}{v_1})^2 + 8\frac{v_2}{v_1} - 3 = 0\]

Пусть \(z = \frac{v_2}{v_1}\)

\[3z^2 + 8z - 3 = 0\]

\[D = 64 + 36 = 100\]

\[z = \frac{-8 \pm 10}{6}\]

\[z_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

\[z_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\]

Так как скорость положительна, то \(z = \frac{1}{3}\).

\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}\]

Тогда \(v_1 = 3v_2\).

\[t_2 = \frac{1}{4}(1 + \frac{v_1}{v_2}) = \frac{1}{4}(1 + 3) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\]

Ответ: 1 час