Вариант 2 1. Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см. 2. Диагонали ромба равны 14см. и 48 см. Найдите сторону ромба. 3. В параллелограмме две стороны 12см. и 16 см., а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма. 4. В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 75°, высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС. 5. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника. 6. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант 2

1. Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см.

   По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где c - гипотенуза, a и b - катеты.

   $$b^2 = c^2 - a^2$$

   $$b^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$

   $$b = \sqrt{64} = 8$$ см

   Ответ: 8 см

2. Диагонали ромба равны 14см. и 48 см. Найдите сторону ромба.

   Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют прямоугольные треугольники. Половины диагоналей являются катетами прямоугольного треугольника, а сторона ромба - гипотенузой.

   $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{14}{2})^2 + (\frac{48}{2})^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$ см

   Ответ: 25 см

3. В параллелограмме две стороны 12см. и 16 см., а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма.

   Площадь параллелограмма равна: $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$, где a и b - стороны параллелограмма, α - угол между ними.

   $$S = 12 \cdot 16 \cdot \sin(150°) = 12 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 96$$ см$$^2$$

   Ответ: 96 см$$^2$$

4. В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 75°, высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС.

   Сумма углов треугольника равна 180°. Угол C = 180° - 30° - 75° = 75°.

   Так как угол B равен углу C, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = AC.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$

   В прямоугольном треугольнике ABD: $$AB = \frac{BD}{\sin(A)} = \frac{6}{\sin(30°)} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$ см

   Так как AB = AC, AC = 12 см

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36$$ см$$^2$$

   Ответ: 36 см$$^2$$

5. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

   Найдем вторую сторону прямоугольника:

   $$b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

   $$b = \sqrt{144} = 12$$ см

   Площадь прямоугольника: $$S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60$$ см$$^2$$

   Периметр прямоугольника: $$P = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34$$ см

   Ответ: Площадь 60 см$$^2$$, периметр 34 см

6. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.

   Проведем высоты из вершин меньшего основания.

   Тогда $$AD = 10$$ см, $$BC = 20$$ см, $$AB = CD = 13$$ см

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (H - основание высоты из вершины B).

   $$AH = \frac{BC - AD}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5$$ см

   Найдем высоту BH по теореме Пифагора: $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см

   Площадь трапеции: $$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$$ см$$^2$$

   Ответ: 180 см$$^2$$