Вариант 2 1. Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии (а), если a₁ = 10 и а₂ =6. 2. Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), b₁ = -64, а знаменатель q=1/2 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -125, 25, -5,.... 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (аn), равного 10,9, если а₁ = 8,5, а разность прогрессии d=0.3. 5. Какие два числа надо вставить между числами 2,5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Хей, давай разберем задания из второго варианта по прогрессиям! Вот как это работает: 1. Начнем с арифметической прогрессии. Найти 16-й член и сумму первых 30 членов, если \( a_1 = 10 \) и \( a_2 = 6 \). * Разность арифметической прогрессии \( d = a_2 - a_1 = 6 - 10 = -4 \). * 16-й член прогрессии \( a_{16} = a_1 + (16 - 1) \cdot d = 10 + 15 \cdot (-4) = 10 - 60 = -50 \). * Сумма первых 30 членов \( S_{30} = \frac{2a_1 + (30 - 1) \cdot d}{2} \cdot 30 = \frac{2 \cdot 10 + 29 \cdot (-4)}{2} \cdot 30 = \frac{20 - 116}{2} \cdot 30 = \frac{-96}{2} \cdot 30 = -48 \cdot 30 = -1440 \).

Ответ: a₁₆ = -50, S₃₀ = -1440

2. Теперь геометрическая прогрессия. Найти шестой член и сумму первых пяти членов, если \( b_1 = -64 \) и знаменатель \( q = \frac{1}{2} \). * Шестой член прогрессии \( b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = -64 \cdot (\frac{1}{2})^5 = -64 \cdot \frac{1}{32} = -2 \). * Сумма первых пяти членов \( S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-64(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-64(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{-64 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{-62}{\frac{1}{2}} = -124 \).

Ответ: b₆ = -2, S₅ = -124

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии -125, 25, -5, ... * Найдем знаменатель: \( q = \frac{25}{-125} = -\frac{1}{5} \). * Сумма бесконечной прогрессии \( S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{-125}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{-125}{\frac{6}{5}} = -125 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{625}{6} \).

Ответ: S = -625/6

4. Номер члена арифметической прогрессии, равного 10.9, если \( a_1 = 8.5 \) и разность \( d = 0.3 \). * Используем формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \). Нам нужно найти n, при котором \( a_n = 10.9 \). * \( 10.9 = 8.5 + (n - 1)(0.3) \) * \( 10.9 - 8.5 = 0.3(n - 1) \) * \( 2.4 = 0.3(n - 1) \) * \( 8 = n - 1 \) * \( n = 9 \).

Ответ: n = 9

5. Какие два числа надо вставить между числами 2.5 и 20, чтобы они образовали геометрическую прогрессию? * У нас есть прогрессия вида 2.5, x, y, 20. Это значит, что 20 — это четвёртый член прогрессии. * \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \), где \( b_1 = 2.5 \) и \( b_4 = 20 \). * \( 20 = 2.5 \cdot q^3 \) * \( q^3 = 8 \) * \( q = 2 \) * Тогда \( x = 2.5 \cdot 2 = 5 \) и \( y = 5 \cdot 2 = 10 \).

Ответ: 5 и 10

Всё получилось! Если тебе что-то еще нужно, я тут как тут!