Вариант 1 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 29% меньше другого. C 2. В прямоугольном треугольнике АВС с 90°, ВС = 9 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину гипотенузы АВ. A B C D 3. Угол между высотой СН и катетом СА прямоугольного треугольника АВС (∠C = 90°) равен 140. Найти острые углы 1 треугольника АВС. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и этот катет. 5. На рисунке AD - биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD

1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 29° меньше другого.

• Пусть x - один из острых углов, тогда другой угол x + 29°.
• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, поэтому:

\[x + (x + 29) = 90\] \[2x = 90 - 29\] \[2x = 61\] \[x = 30.5\]

• Тогда второй угол:

\[x + 29 = 30.5 + 29 = 59.5\]

Ответ: 30.5° и 59.5°

2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, BC = 9 см, внешний угол при вершине B равен 120°. Найти длину гипотенузы AB.

• Внешний угол при вершине B равен 120°, значит, внутренний угол при вершине B равен:

\[180° - 120° = 60°\]

• В прямоугольном треугольнике угол A равен:

\[90° - 60° = 30°\]

• Катет BC лежит против угла 30°, значит, гипотенуза AB в два раза больше катета BC:

\[AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 9 = 18\]

Ответ: 18 см

3. Угол между высотой CH и катетом CA прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) равен 14°. Найти острые углы треугольника ABC.

• Угол между высотой CH и катетом CA равен 14°, значит, угол HCA равен 14°.
• Тогда угол A равен:

\[90° - 14° = 76°\]

• Второй острый угол B равен:

\[90° - 76° = 14°\]

Ответ: 76° и 14°

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и этот катет.

• Пусть a - меньший катет, тогда гипотенуза a + 18.
• Поскольку один из углов равен 60°, то другой острый угол равен 30°.
• Меньший катет лежит против угла 30°, значит, гипотенуза в два раза больше катета:

\[a + 18 = 2a\] \[a = 18\]

• Тогда гипотенуза равна:

\[a + 18 = 18 + 18 = 36\]

Ответ: 36 см и 18 см

5. На рисунке AD - биссектриса угла D, BD = 5 см. Найдите CD

• Так как AD - биссектриса угла D, то угол BDA равен углу CDA.
• Рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них сторона AD - общая, углы BDA и CDA равны, углы B и C равны 90°.
• Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по углу и стороне.
• Из равенства треугольников следует, что BD = CD.
• Так как BD = 5 см, то CD = 5 см.

Ответ: CD = 5 см