Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 2 1. Найдите допустимые значения переменной выражения 4+a a²-3a и определите, при каком значении переменной данная рациональная дробь равна нулю. 2. Сократите дробь 8y+4x x² - 4y² и найдите се значение при х = 0,3 и у = -0,35. 3. Выполните действия: (2a/(2a-1)+1):(4a²-a)/(6a-3). 4. Известно, что a/b = 2. Найдите значение дроби (4a + 3b)/(3a + 4b). 5. При каких целых значениях n выражение А = (3n² - 2n +3)/n также будет целым числом? Найдите это число. 6. Постройте график функции у = (x+2)/(x²+2x). При каких зна- чениях аргумента значения функции положительны?
Ответ:
Решим каждое задание по порядку.
1. Найдите допустимые значения переменной выражения $$\frac{4+a}{a^2-3a}$$ и определите, при каком значении переменной данная рациональная дробь равна нулю.
* Допустимые значения переменной: знаменатель не должен равняться нулю. $$a^2 - 3a
eq 0$$. Разложим на множители: $$a(a-3)
eq 0$$. Значит, $$a
eq 0$$ и $$a
eq 3$$. * Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $$4+a = 0$$, откуда $$a = -4$$. Это значение входит в область допустимых значений. 2. Сократите дробь $$\frac{8y+4x}{x^2 - 4y^2}$$ и найдите её значение при $$x = 0,3$$ и $$y = -0,35$$. * Сокращение дроби: $$ \frac{8y+4x}{x^2 - 4y^2} = \frac{4(2y+x)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{4(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{4}{x-2y}$$. * Подставим значения $$x = 0,3$$ и $$y = -0,35$$ в сокращенную дробь: $$\frac{4}{0,3 - 2(-0,35)} = \frac{4}{0,3 + 0,7} = \frac{4}{1} = 4$$. 3. Выполните действия: $$\left(\frac{2a}{2a-1}+1\right) \div \frac{4a^2-a}{6a-3}$$. * Приведем к общему знаменателю в скобках: $$\frac{2a}{2a-1} + 1 = \frac{2a + (2a-1)}{2a-1} = \frac{4a-1}{2a-1}$$. * Разложим на множители вторую дробь: $$\frac{4a^2-a}{6a-3} = \frac{a(4a-1)}{3(2a-1)}$$. * Выполним деление: $$\frac{4a-1}{2a-1} \div \frac{a(4a-1)}{3(2a-1)} = \frac{4a-1}{2a-1} \cdot \frac{3(2a-1)}{a(4a-1)} = \frac{3}{a}$$. 4. Известно, что $$\frac{a}{b} = 2$$. Найдите значение дроби $$\frac{4a+3b}{3a+4b}$$. * Выразим a через b: $$a = 2b$$. * Подставим в выражение: $$\frac{4(2b) + 3b}{3(2b) + 4b} = \frac{8b + 3b}{6b + 4b} = \frac{11b}{10b} = \frac{11}{10} = 1,1$$. 5. При каких целых значениях n выражение $$A = \frac{3n^2 - 2n + 3}{n}$$ также будет целым числом? Найдите это число. * Разделим почленно: $$A = \frac{3n^2}{n} - \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = 3n - 2 + \frac{3}{n}$$. * Для того чтобы A было целым числом, необходимо, чтобы $$\frac{3}{n}$$ было целым числом. Это возможно, если n является делителем числа 3. Делители числа 3: $$\pm 1, \pm 3$$. * При $$n = 1$$, $$A = 3(1) - 2 + \frac{3}{1} = 3 - 2 + 3 = 4$$. * При $$n = -1$$, $$A = 3(-1) - 2 + \frac{3}{-1} = -3 - 2 - 3 = -8$$. * При $$n = 3$$, $$A = 3(3) - 2 + \frac{3}{3} = 9 - 2 + 1 = 8$$. * При $$n = -3$$, $$A = 3(-3) - 2 + \frac{3}{-3} = -9 - 2 - 1 = -12$$. 6. Постройте график функции $$y = \frac{x+2}{x^2+2x}$$. При каких значениях аргумента значения функции положительны? * Упростим функцию: $$y = \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{1}{x}$$, при условии $$x
eq 0$$ и $$x
eq -2$$. * График функции $$y = \frac{1}{x}$$ – гипербола. Функция положительна при $$x > 0$$. * Учитывая ограничение $$x
eq -2$$, функция положительна при $$x > 0$$.
eq 0$$. Разложим на множители: $$a(a-3)
eq 0$$. Значит, $$a
eq 0$$ и $$a
eq 3$$. * Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $$4+a = 0$$, откуда $$a = -4$$. Это значение входит в область допустимых значений. 2. Сократите дробь $$\frac{8y+4x}{x^2 - 4y^2}$$ и найдите её значение при $$x = 0,3$$ и $$y = -0,35$$. * Сокращение дроби: $$ \frac{8y+4x}{x^2 - 4y^2} = \frac{4(2y+x)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{4(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{4}{x-2y}$$. * Подставим значения $$x = 0,3$$ и $$y = -0,35$$ в сокращенную дробь: $$\frac{4}{0,3 - 2(-0,35)} = \frac{4}{0,3 + 0,7} = \frac{4}{1} = 4$$. 3. Выполните действия: $$\left(\frac{2a}{2a-1}+1\right) \div \frac{4a^2-a}{6a-3}$$. * Приведем к общему знаменателю в скобках: $$\frac{2a}{2a-1} + 1 = \frac{2a + (2a-1)}{2a-1} = \frac{4a-1}{2a-1}$$. * Разложим на множители вторую дробь: $$\frac{4a^2-a}{6a-3} = \frac{a(4a-1)}{3(2a-1)}$$. * Выполним деление: $$\frac{4a-1}{2a-1} \div \frac{a(4a-1)}{3(2a-1)} = \frac{4a-1}{2a-1} \cdot \frac{3(2a-1)}{a(4a-1)} = \frac{3}{a}$$. 4. Известно, что $$\frac{a}{b} = 2$$. Найдите значение дроби $$\frac{4a+3b}{3a+4b}$$. * Выразим a через b: $$a = 2b$$. * Подставим в выражение: $$\frac{4(2b) + 3b}{3(2b) + 4b} = \frac{8b + 3b}{6b + 4b} = \frac{11b}{10b} = \frac{11}{10} = 1,1$$. 5. При каких целых значениях n выражение $$A = \frac{3n^2 - 2n + 3}{n}$$ также будет целым числом? Найдите это число. * Разделим почленно: $$A = \frac{3n^2}{n} - \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = 3n - 2 + \frac{3}{n}$$. * Для того чтобы A было целым числом, необходимо, чтобы $$\frac{3}{n}$$ было целым числом. Это возможно, если n является делителем числа 3. Делители числа 3: $$\pm 1, \pm 3$$. * При $$n = 1$$, $$A = 3(1) - 2 + \frac{3}{1} = 3 - 2 + 3 = 4$$. * При $$n = -1$$, $$A = 3(-1) - 2 + \frac{3}{-1} = -3 - 2 - 3 = -8$$. * При $$n = 3$$, $$A = 3(3) - 2 + \frac{3}{3} = 9 - 2 + 1 = 8$$. * При $$n = -3$$, $$A = 3(-3) - 2 + \frac{3}{-3} = -9 - 2 - 1 = -12$$. 6. Постройте график функции $$y = \frac{x+2}{x^2+2x}$$. При каких значениях аргумента значения функции положительны? * Упростим функцию: $$y = \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{1}{x}$$, при условии $$x
eq 0$$ и $$x
eq -2$$. * График функции $$y = \frac{1}{x}$$ – гипербола. Функция положительна при $$x > 0$$. * Учитывая ограничение $$x
eq -2$$, функция положительна при $$x > 0$$.
| Задание | Решение |
|---|---|
| 1 | Допустимые значения: $$a eq 0$$ и $$a eq 3$$. Дробь равна нулю при $$a = -4$$ |
| 2 | Сокращенная дробь: $$\frac{4}{x-2y}$$. Значение при $$x = 0,3$$ и $$y = -0,35$$ равно 4 |
| 3 | $$\frac{3}{a}$$ |
| 4 | 1,1 |
| 5 | n = 1, A = 4; n = -1, A = -8; n = 3, A = 8; n = -3, A = -12 |
| 6 | Функция положительна при $$x > 0$$. |
