Вариант 1 1. Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (а), если а=2 и а₂=5. 2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии (вы), если b = 27, а заменатель 9 = 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 28, -14.7.... 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии равного 7.3, если а₁ = 10,3, а разность прогрессии d=415. 5. Калие два числа надо вставить между числами 2 и -54, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогресию?

Привет! Давай разберем эти задания по арифметической и геометрической прогрессиям. Логика такая: 1. Начнем с арифметической прогрессии. Нам нужно найти 14-й член и сумму первых 20 членов, зная, что первый член \( a_1 = 2 \), а второй \( a_2 = 5 \). * Разность арифметической прогрессии \( d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3 \). * 14-й член прогрессии \( a_{14} = a_1 + (14 - 1) \cdot d = 2 + 13 \cdot 3 = 2 + 39 = 41 \). * Сумма первых 20 членов \( S_{20} = \frac{2a_1 + (20 - 1) \cdot d}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 2 + 19 \cdot 3}{2} \cdot 20 = \frac{4 + 57}{2} \cdot 20 = \frac{61}{2} \cdot 20 = 610 \).

Ответ: a₁₄ = 41, S₂₀ = 610

2. Теперь геометрическая прогрессия. Нужно найти пятый член и сумму первых четырёх членов, если \( b_1 = 27 \) и знаменатель \( q = \frac{1}{3} \). * Пятый член прогрессии \( b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{3} \). * Сумма первых четырёх членов \( S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{27(1 - (\frac{1}{3})^4)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27(1 - \frac{1}{81})}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{80}{3}}{\frac{2}{3}} = 40 \).

Ответ: b₅ = 1/3, S₄ = 40

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 28 и знаменателем \( q = -\frac{1}{2} \) (так как \( -14 = 28 \cdot q \), отсюда \( q = -\frac{1}{2} \)). * Сумма бесконечной прогрессии \( S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{28}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{28}{\frac{3}{2}} = 28 \cdot \frac{2}{3} = \frac{56}{3} \).

Ответ: S = 56/3

4. Номер члена арифметической прогрессии, равного 7.3, если \( a_1 = 10.3 \) и разность \( d = -0.5 \). * Используем формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \). Нам нужно найти n, при котором \( a_n = 7.3 \). * \( 7.3 = 10.3 + (n - 1)(-0.5) \) * \( 7.3 - 10.3 = -0.5(n - 1) \) * \( -3 = -0.5(n - 1) \) * \( 6 = n - 1 \) * \( n = 7 \).

Ответ: n = 7

5. Какие два числа надо вставить между 2 и -54, чтобы они образовали геометрическую прогрессию? * У нас есть прогрессия вида 2, x, y, -54. Это значит, что -54 — это четвёртый член прогрессии. * \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \), где \( b_1 = 2 \) и \( b_4 = -54 \). * \( -54 = 2 \cdot q^3 \) * \( q^3 = -27 \) * \( q = -3 \) * Тогда \( x = 2 \cdot (-3) = -6 \) и \( y = -6 \cdot (-3) = 18 \).

Ответ: -6 и 18

Вот и все! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся, я всегда здесь, чтобы помочь!