Вариант 1 1. Имеется два раствора кислоты с концентрациями 50% и 45%. Если их слить в один сосуд, получится раствор массой 4 кг, содержащий 48% кислоты. Найдите массу второго раствора в килограммах. 2. Первые 150 км автомобиль ехал со скоростью 75 км/ч, следующие 255 км со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в км/ч. 3. Расстояние между пристанями А и В равно 38,5 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправился катер, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернул обратно и возвратился в А. К этому времени плот прошёл 22 км. Найдите скорость катера в стоячей воде в км/ч, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 4. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 78 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего парал- лельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 20 секунд. Найдите длину поезда в метрах. 5. Первый рабочий за час делает на 8 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 270 деталей, на 12 часов быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Вариант 2 1. Имеется два раствора кислоты с концентрациями 80% и 40%. Если их слить в один сосуд, получится раствор массой 5 кг, содержащий 72% кислоты. Найдите массу второго раствора в килограммах. 2. Первые 240 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 285 км со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в км/ч. 3. Расстояние между пристанями А и В равно 88 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправился катер, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернул обратно и возвратился в А. К этому времени плот прошёл 31,5 км. Найдите скорость катера в стоячей воде в км/ч, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 4. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 85 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего парал- лельно путям со скоростью 4 км/ч в том же направлении, за 24 секунд. Найдите длину поезда в метрах. 5. Первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 330 деталей, на 8 часов быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Задача 1:

• Пусть x кг - масса первого раствора, тогда масса второго раствора (4 - x) кг.
• Составим уравнение: \[0.5x + 0.45(4 - x) = 0.48 \cdot 4\]
• Решаем уравнение: \[0.5x + 1.8 - 0.45x = 1.92\] \[0.05x = 0.12\] \[x = 2.4\]
• Масса второго раствора: \[4 - x = 4 - 2.4 = 1.6\] кг

Ответ: 1.6 кг

Задача 2:

• Общее расстояние: \[150 + 255 = 405\] км
• Общее время: \[\frac{150}{75} + \frac{255}{85} = 2 + 3 = 5\] ч
• Средняя скорость: \[\frac{405}{5} = 81\] км/ч

Ответ: 81 км/ч

Задача 3:

• Время, которое плот был в пути: \[t = \frac{22}{4} = 5.5\] ч
• Катер был в пути на 1 час меньше: \[5.5 - 1 = 4.5\] ч
• Пусть v - скорость катера в стоячей воде.
• Расстояние АВ: 38.5 км.
• Составим уравнение: \[(v + 4) \cdot t_1 + (v - 4) \cdot t_2 = 2 \cdot 38.5\] где \[t_1 + t_2 = 4.5\]
• Плот проплыл 22 км, значит, катер проплыл 77 - 22 = 55 км.
• Уравнение: \[(v + 4) \cdot t_1 + (v - 4) \cdot (4.5 - t_1) = 77\] \[vt_1 + 4t_1 + 4.5v - vt_1 - 18 + 4t_1 = 77\] \[4.5v + 8t_1 = 95\] \[t_1 = \frac{95 - 4.5v}{8}\]
• Выразим время в пути туда и обратно через расстояние: \[\frac{38.5}{v + 4} + \frac{38.5}{v - 4} = 4.5\] \[38.5(v - 4) + 38.5(v + 4) = 4.5(v^2 - 16)\] \[77v = 4.5v^2 - 72\] \[4.5v^2 - 77v - 72 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение: \[D = 77^2 - 4 \cdot 4.5 \cdot (-72) = 5929 + 1296 = 7225\] \[v = \frac{77 + \sqrt{7225}}{9} = \frac{77 + 85}{9} = \frac{162}{9} = 18\]

Ответ: 18 км/ч

Задача 4:

• Скорость сближения поезда и пешехода: \[78 + 3 = 81\] км/ч \[81 \cdot \frac{1000}{3600} = 22.5\] м/с
• Длина поезда: \[22.5 \cdot 20 = 450\] м

Ответ: 450 м

Задача 5:

• Пусть x деталей в час делает второй рабочий, тогда первый делает (x + 8) деталей.
• Время, которое тратит второй рабочий: \[\frac{270}{x}\]
• Время, которое тратит первый рабочий: \[\frac{270}{x + 8}\]
• Составим уравнение: \[\frac{270}{x} - \frac{270}{x + 8} = 12\] \[270(x + 8) - 270x = 12x(x + 8)\] \[270x + 2160 - 270x = 12x^2 + 96x\] \[12x^2 + 96x - 2160 = 0\] \[x^2 + 8x - 180 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение: \[D = 8^2 - 4 \cdot (-180) = 64 + 720 = 784\] \[x = \frac{-8 + \sqrt{784}}{2} = \frac{-8 + 28}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

Ответ: 10 деталей

Задача 1:

• Пусть x кг - масса первого раствора, тогда масса второго раствора (5 - x) кг.
• Составим уравнение: \[0.8x + 0.4(5 - x) = 0.72 \cdot 5\]
• Решаем уравнение: \[0.8x + 2 - 0.4x = 3.6\] \[0.4x = 1.6\] \[x = 4\]
• Масса второго раствора: \[5 - x = 5 - 4 = 1\] кг

Ответ: 1 кг

Задача 2:

• Общее расстояние: \[240 + 285 = 525\] км
• Общее время: \[\frac{240}{80} + \frac{285}{95} = 3 + 3 = 6\] ч
• Средняя скорость: \[\frac{525}{6} = 87.5\] км/ч

Ответ: 87.5 км/ч

Задача 3:

• Время, которое плот был в пути: \[t = \frac{31.5}{3} = 10.5\] ч
• Катер был в пути на 1 час меньше: \[10.5 - 1 = 9.5\] ч
• Пусть v - скорость катера в стоячей воде.
• Расстояние АВ: 88 км.
• Составим уравнение: \[(v + 3) \cdot t_1 + (v - 3) \cdot t_2 = 2 \cdot 88\] где \[t_1 + t_2 = 9.5\]
• Плот проплыл 31.5 км, значит, катер проплыл 176 - 31.5 = 144.5 км.
• Выразим время в пути туда и обратно через расстояние: \[\frac{88}{v + 3} + \frac{88}{v - 3} = 9.5\] \[88(v - 3) + 88(v + 3) = 9.5(v^2 - 9)\] \[176v = 9.5v^2 - 85.5\] \[9.5v^2 - 176v - 85.5 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение: \[D = (-176)^2 - 4 \cdot 9.5 \cdot (-85.5) = 30976 + 3249 = 34225\] \[v = \frac{176 + \sqrt{34225}}{19} = \frac{176 + 185}{19} = \frac{361}{19} = 19\]

Ответ: 19 км/ч

Задача 4:

• Скорость сближения поезда и пешехода: \[85 - 4 = 81\] км/ч \[81 \cdot \frac{1000}{3600} = 22.5\] м/с
• Длина поезда: \[22.5 \cdot 24 = 540\] м

Ответ: 540 м

Задача 5:

• Пусть x деталей в час делает второй рабочий, тогда первый делает (x + 4) деталей.
• Время, которое тратит второй рабочий: \[\frac{330}{x}\]
• Время, которое тратит первый рабочий: \[\frac{330}{x + 4}\]
• Составим уравнение: \[\frac{330}{x} - \frac{330}{x + 4} = 8\] \[330(x + 4) - 330x = 8x(x + 4)\] \[330x + 1320 - 330x = 8x^2 + 32x\] \[8x^2 + 32x - 1320 = 0\] \[x^2 + 4x - 165 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение: \[D = 4^2 - 4 \cdot (-165) = 16 + 660 = 676\] \[x = \frac{-4 + \sqrt{676}}{2} = \frac{-4 + 26}{2} = \frac{22}{2} = 11\]

Ответ: 11 деталей

Result Card: Цифровой атлет

• Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.
• Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.