Вариант 1. (геометрия) 1. Даны точки A(-3;5) и B(7;-1) * Найдите координаты вектора AB * Вычислите длину вектора AB * Определите координаты середины отрезка AB 2. Найдите длину отрезка CD, если C(-4;2); D(3;-6). 3. Даны векторы $$\vec{a}$$ = {2;-3}, $$\vec{b}$$ = (-1;4) Найдите координаты вектора $$\vec{c}$$ = 2$$\vec{a}$$ - $$\vec{b}$$ 4. Запишите уравнение окружности с центром в точке O(3;-2) и радиусом 4. 5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки M(-2;5) и N(4;-1).

1. * Найдите координаты вектора AB $$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (7 - (-3); -1 - 5) = (10; -6)$$ * Вычислите длину вектора AB $$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(10)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136}$$ * Определите координаты середины отрезка AB $$x_{mid} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_{mid} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Середина отрезка AB имеет координаты (2; 2). 2. Найдите длину отрезка CD, если C(-4;2); D(3;-6). $$|CD| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-6 - 2)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-8)^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}$$ 3. Даны векторы $$\vec{a}$$ = {2;-3}, $$\vec{b}$$ = (-1;4). Найдите координаты вектора $$\vec{c}$$ = 2$$\vec{a}$$ - $$\vec{b}$$ $$2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-3)) = (4; -6)$$ $$\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b} = (4 - (-1); -6 - 4) = (5; -10)$$ 4. Запишите уравнение окружности с центром в точке O(3;-2) и радиусом 4. Уравнение окружности имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a; b) - координаты центра, R - радиус. В данном случае: (a; b) = (3; -2), R = 4. $$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$$ $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$$ 5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки M(-2;5) и N(4;-1). Уравнение прямой можно записать в виде: $$y = kx + b$$ Подставим координаты точек M и N: $$5 = -2k + b$$ $$-1 = 4k + b$$ Вычтем из первого уравнения второе: $$5 - (-1) = -2k - 4k + b - b$$ $$6 = -6k$$ $$k = -1$$ Подставим k = -1 в первое уравнение: $$5 = -2 \cdot (-1) + b$$ $$5 = 2 + b$$ $$b = 3$$ Таким образом, уравнение прямой: $$y = -x + 3$$