Вариант 1. (геометрия) 1. Даны точки A(-3;5) и B(7;-1) * Найдите координаты вектора AB * Вычислите длину вектора AB * Определите координаты середины отрезка AB 2. Найдите длину отрезка CD если: C(-4;2); D(3;-6). 3. Даны векторы a={2;-3}, b=(-1;4) Найдите координаты вектора c=2a-b 4. Запишите уравнение окружности с центром в точке O(3;-2) и радиусом 4. 5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки M(-2;5) и N(4;-1).

1. Даны точки $$A(-3;5)$$ и $$B(7;-1)$$.

a) Найдем координаты вектора $$overrightarrow{AB}$$.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала:

$$ overrightarrow{AB} = (7 - (-3); -1 - 5) = (10; -6) $$

б) Вычислим длину вектора $$overrightarrow{AB}$$.

Длина вектора находится по формуле:

$$ |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Подставим значения:

$$ |overrightarrow{AB}| = sqrt{(10)^2 + (-6)^2} = sqrt{100 + 36} = sqrt{136} = 2sqrt{34} $$

в) Определим координаты середины отрезка $$AB$$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$$ x_c = rac{x_1 + x_2}{2}, y_c = rac{y_1 + y_2}{2} $$

Подставим значения:

$$ x_c = rac{-3 + 7}{2} = rac{4}{2} = 2 $$ $$ y_c = rac{5 + (-1)}{2} = rac{4}{2} = 2 $$

Середина отрезка $$AB$$ имеет координаты $$(2; 2)$$.

2. Найдите длину отрезка $$CD$$, если $$C(-4;2)$$, $$D(3;-6)$$.

Длина отрезка находится по формуле:

$$ |CD| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Подставим значения:

$$ |CD| = sqrt{(3 - (-4))^2 + (-6 - 2)^2} = sqrt{(7)^2 + (-8)^2} = sqrt{49 + 64} = sqrt{113} $$

3. Даны векторы $$overrightarrow{a} = (2;-3)$$, $$overrightarrow{b} = (-1;4)$$. Найдите координаты вектора $$overrightarrow{c} = 2overrightarrow{a} - overrightarrow{b}$$.

Сначала найдем координаты вектора $$2overrightarrow{a}$$:

$$ 2overrightarrow{a} = (2 cdot 2; 2 cdot (-3)) = (4; -6) $$

Теперь найдем координаты вектора $$overrightarrow{c}$$.

$$ overrightarrow{c} = (4 - (-1); -6 - 4) = (5; -10) $$

4. Запишите уравнение окружности с центром в точке $$O(3;-2)$$ и радиусом $$4$$.

Уравнение окружности имеет вид:

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $$

где $$(a; b)$$ - координаты центра окружности, $$R$$ - радиус окружности.

Подставим значения:

$$ (x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2 $$ $$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 $$

5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $$M(-2;5)$$ и $$N(4;-1)$$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

$$ rac{x - x_1}{x_2 - x_1} = rac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$

Подставим значения:

$$ rac{x - (-2)}{4 - (-2)} = rac{y - 5}{-1 - 5} $$ $$ rac{x + 2}{6} = rac{y - 5}{-6} $$ $$ -6(x + 2) = 6(y - 5) $$ $$ -6x - 12 = 6y - 30 $$ $$ 6x + 6y - 18 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 6:

$$ x + y - 3 = 0 $$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$ y = -x + 3 $$