Вариант 1 1. Даны точки А (−3; 1), В (1; −2) и С (-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов АВ и АС; 2) модули векторов АВ и АС; 3) координаты вектора МК = 2AB – ЗАС; 4) скалярное произведение векторов АВ и АС; 5) косинус угла между векторами АВ и АС. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) AB + BC; 2) AC – AB ; 3) CA + CB 3. Даны векторы т(4;14) и п(-7; k). При каком значениИ k векторы 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? тип: 4. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки Ми Р так, что ВМ: MC = 2 : 5, CP: PD = 3 : 1. Выразите вектор МР через векторы АВ = а и AD = b

Задание 1

1. Координаты векторов:
   • AB = B - A = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)
   • AC = C - A = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)
2. Модули векторов:
   • |AB| = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
   • |AC| = √(2² + (-1)²) = √(4 + 1) = √5
3. Координаты вектора MK:
   • MK = 2AB - 3AC = 2(4; -3) - 3(2; -1) = (8; -6) - (6; -3) = (2; -3)
4. Скалярное произведение векторов:
   • AB · AC = (4 * 2) + (-3 * -1) = 8 + 3 = 11
5. Косинус угла между векторами:
   • cos(α) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = 11 / (5 * √5) = 11√5 / 25

Задание 2

• Для построения векторов необходимо начертить треугольник ABC с заданными координатами вершин и построить указанные векторы.
• Построение векторов:
  • AB + BC = AC
  • AC - AB = BC
  • CA + CB = 2CD, где D - середина AB

Задание 3

• Даны векторы m(4; 14) и n(-7; k).
• Условие коллинеарности: m || n, тогда 4/(-7) = 14/k
  • k = 14 * (-7) / 4 = -49/2 = -24.5
• Условие перпендикулярности: m ⊥ n, тогда m · n = 0
  • (4 * -7) + (14 * k) = 0
  • -28 + 14k = 0
  • k = 28 / 14 = 2

Задание 4

• Выразим вектор MP через векторы AB = a и AD = b.
• По условию BM : MC = 2 : 5, CP : PD = 3 : 1.
• Тогда MC = (5/7)BC и CP = (3/4)CD.
• MP = MC + CP = (5/7)BC + (3/4)CD = (5/7)AD + (3/4)(-AB) = (5/7)b - (3/4)a