Вариант 1 1. Дано: a || b, c - секущая, 21 + 2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = Z2, Z3 = 120° (рис. 3.172). Найти: 24. 3. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точ- ку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекаю- щая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и М№ (E∈ CD, KE MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла №КЕ прямые CD и MN могут быть параллельными?

Решение.

<h3>1. Дано: a || b, c - секущая, ∠1 + ∠2 = 102° (рис. 3.171).
Найти: Все образовавшиеся углы.</h3>

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны, накрест лежащие углы равны, а односторонние углы в сумме составляют 180°.

Пусть ∠1 = x, тогда ∠2 = 102° - x.

∠1 и ∠2 - односторонние, значит:

$$x + (102° - x) = 180°$$

$$2x = 180° - 102°$$

$$2x = 78°$$

$$x = 39°$$

Следовательно, ∠1 = 39°, ∠2 = 102° - 39° = 63°

Вертикальные с ∠1 равен 39°

Вертикальные с ∠2 равен 63°

Односторонний с ∠1 равен 180°-39°=141°

Односторонний с ∠2 равен 180°-63°=117°

<strong>Ответ:</strong> ∠1 = 39°, ∠2 = 63°, ∠3 = 39°, ∠4 = 63°, ∠5 = 141°, ∠6 = 117°, ∠7 = 141°, ∠8 = 117°.

<h3>2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120° (рис. 3.172).
Найти: ∠4.</h3>

∠1 = ∠2, следовательно, AC - биссектриса угла ∠ВАМ.

∠3 и смежный с ним углы в сумме составляют 180°.

Смежный с ∠3 угол = 180° - 120° = 60°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

∠1 + ∠2 + 60° = 180°.

2∠1 = 180° - 60°.

2∠1 = 120°.

∠1 = 60°.

∠1 = ∠2 = 60°

∠4 и ∠2 - соответственные углы при параллельных прямых АВ и NM и секущей ВС, значит, ∠4 = ∠2 = 60°.

<strong>Ответ:</strong> ∠4 = 60°.

<h3>3. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°.</h3>

∠BAC = 72°, AD - биссектриса, следовательно, ∠DAF = ∠BAD = 72°/2 = 36°.

DF || AB, следовательно, ∠ADF = ∠BAD = 36° (накрест лежащие углы).

Сумма углов треугольника равна 180°.

∠AFD = 180° - ∠DAF - ∠ADF = 180° - 36° - 36° = 108°.

<strong>Ответ:</strong> ∠DAF = 36°, ∠ADF = 36°, ∠AFD = 108°.

<h3>4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и М№ (E∈ CD, KE MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла №КЕ прямые CD и MN могут быть параллельными?</h3>

Прямые CD и MN будут параллельными, если ∠DЕК = ∠NKE как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей ЕК.

Следовательно, ∠NKE = 65°.

<strong>Ответ:</strong> ∠NKE = 65°.