Вариант 4 1. Дан треугольник $$PQR$$, угол $$Q$$ - тупой, точка $$S$$ лежит на стороне $$PQ$$. Докажите, что $$PR > SR$$ $$ZC = 30°$$. Докажите, что 2. В треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BD$$, $$∠A = 90°$$, $$∠C = 30°$$. Докажите, что треугольник $$BCD$$ - равнобедренный. 3. В треугольнике $$XYZ$$ $$XY = XZ$$. На продолжениях сторон $$YZ$$ и $$XZ$$ за вершину $$Z$$ отмечены точки $$M$$ и $$N$$ соответственно. Известно, что $$MN \| XY$$. Докажите, что треугольник $$ZMN$$ - равнобедренный. 4. Через вершину $$M$$ треугольника $$PQR$$ проведена прямая, параллельная его биссектрисе $$QQ1$$ и пересекающая прямую $$PR$$ в точке $$S$$. Докажите, что $$MQ = MS$$.

Question

Вопрос:

Вариант 4 1. Дан треугольник $$PQR$$, угол $$Q$$ - тупой, точка $$S$$ лежит на стороне $$PQ$$. Докажите, что $$PR > SR$$ $$ZC = 30°$$. Докажите, что 2. В треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BD$$, $$∠A = 90°$$, $$∠C = 30°$$. Докажите, что треугольник $$BCD$$ - равнобедренный. 3. В треугольнике $$XYZ$$ $$XY = XZ$$. На продолжениях сторон $$YZ$$ и $$XZ$$ за вершину $$Z$$ отмечены точки $$M$$ и $$N$$ соответственно. Известно, что $$MN \| XY$$. Докажите, что треугольник $$ZMN$$ - равнобедренный. 4. Через вершину $$M$$ треугольника $$PQR$$ проведена прямая, параллельная его биссектрисе $$QQ1$$ и пересекающая прямую $$PR$$ в точке $$S$$. Докажите, что $$MQ = MS$$.

Ответ:

Accepted Answer

Ответ:

Краткое пояснение: В данной задаче необходимо доказать геометрические утверждения, используя свойства треугольников и параллельных прямых.

1. Дано: треугольник PQR, угол Q - тупой, точка S лежит на стороне PQ. Доказать: PR > SR.

Решение:

В треугольнике PQR угол Q тупой, значит угол R - острый (сумма углов треугольника равна 180 градусов).
Рассмотрим треугольник SRQ. Угол Q - тупой, значит, сторона SR лежит против тупого угла.
В треугольнике PQR, сторона PR лежит против угла Q, который тупой.
В треугольнике SRQ сторона SR лежит против тупого угла Q, значит, SR < PQ + QR.
Так как PR лежит против тупого угла Q, а SR против острого угла R, то PR > SR.

2. Дано: В треугольнике ABC проведена биссектриса BD, ∠A = 90°, ∠C = 30°. Доказать: треугольник BCD - равнобедренный.

Решение:

В треугольнике ABC, ∠A = 90°, ∠C = 30°, следовательно, ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.
BD - биссектриса угла B, значит, ∠CBD = ∠ABD = 60° / 2 = 30°.
В треугольнике BCD, ∠CBD = 30°, ∠C = 30°, следовательно, треугольник BCD - равнобедренный (углы при основании равны).

3. Дано: В треугольнике XYZ XY = XZ. На продолжениях сторон YZ и XZ за вершину Z отмечены точки M и N соответственно. Известно, что MN || XY. Доказать: треугольник ZMN - равнобедренный.

Решение:

Так как XY = XZ, треугольник XYZ - равнобедренный, следовательно, ∠XYZ = ∠XZY.
MN || XY, значит, ∠ZMN = ∠XYZ и ∠ZNM = ∠XZY (соответственные углы при параллельных прямых).
Следовательно, ∠ZMN = ∠ZNM, а значит, треугольник ZMN - равнобедренный (углы при основании равны).

4. Дано: Через вершину M треугольника PQR проведена прямая, параллельная его биссектрисе QQ1 и пересекающая прямую PR в точке S. Доказать: MQ = MS.

Решение:

Проведём прямую через точку M параллельно QQ1.
Пусть эта прямая пересекает PR в точке S.
Так как MS || QQ1, то ∠Q1QS = ∠QSM (накрест лежащие углы).
QQ1 - биссектриса, значит, ∠PQQ1 = ∠Q1QS.
Следовательно, ∠PQQ1 = ∠QSM, значит, треугольник MQS - равнобедренный (углы при основании равны).
Следовательно, MQ = MS.

Ответ: Доказано.

Математический Гений: Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей