Вариант 2 1. Дан прямоугольный параллелепипед А₁BCDABCD, К делит отрезок ВС на 2 равные части, L делит отрезок DD₁ на 2 равные части, Р точка пересечения АС и BD. Выразить через векторы АВ = а, AD = b, АА₁ = с векторы KL и РС₁. ← ←

Ответ: Выражение векторов \(\overrightarrow{KL}\) и \(\overrightarrow{PC_1}\) через заданные векторы будет представлено в пошаговом решении.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выразим вектор \(\overrightarrow{KL}\) через известные векторы.

   Точка K делит BC пополам, поэтому \(\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\).

   Точка L делит DD₁ пополам, поэтому \(\overrightarrow{DL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DD_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\).

   Теперь выразим вектор \(\overrightarrow{KL}\) как \(\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KD} + \overrightarrow{DL}\).

   Вектор \(\overrightarrow{KD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BK} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\).

   Следовательно, \(\overrightarrow{KL} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\).

2. Шаг 2: Выразим вектор \(\overrightarrow{PC_1}\) через известные векторы.

   Точка P - точка пересечения AC и BD, следовательно, она является центром параллелограмма ABCD.

   Таким образом, \(\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\).

   Теперь выразим вектор \(\overrightarrow{PC_1}\) как \(\overrightarrow{PC_1} = \overrightarrow{PA_1} + \overrightarrow{A_1C_1}\).

   Вектор \(\overrightarrow{PA_1} = -\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AA_1} = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\).

   Вектор \(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\).

   Следовательно, \(\overrightarrow{PC_1} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\).

Финальный ответ:

\(\overrightarrow{KL} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{PC_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\)

Ответ: \(\overrightarrow{KL} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{PC_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\)