Вариант 3 1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2. Площадь боковой грани в правильной четырехугольной призме равна 48см², а периметр основания 12 см. Найдите боковое ребро призмы. 3. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 60°, а боковое ребро 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см. Высота призмы равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1. Задача 1:

   a) Найдем высоту пирамиды.

   Т.к. боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, высота пирамиды равна половине диагонали основания.

   Пусть сторона основания равна a. Тогда диагональ основания равна a\(\sqrt{2}\).

   По условию, боковое ребро равно 4 см. Тогда:

   \[a = \frac{4}{\cos{45^\circ}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\]

   Диагональ основания равна 4\(\sqrt{2}\) * \(\sqrt{2}\) = 8.

   Тогда высота пирамиды равна половине диагонали:

   \[h = \frac{8}{2} = 4\]

   Высота пирамиды равна 4 см.

   б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

   Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из 4 равных треугольников.

   Площадь одного треугольника равна:

   \[S = \frac{1}{2} a h_\text{бок}\]

   Найдем апофему h_бок (высоту боковой грани) по теореме Пифагора:

   \[h_\text{бок} = \sqrt{4^2 - (\frac{4\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

   Тогда площадь одного треугольника:

   \[S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8 \text{ см}^2\]

   Площадь боковой поверхности:

   \[S_\text{бок} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2\]

2. Задача 2:

   Площадь боковой грани в правильной четырехугольной призме равна 48 см², а периметр основания 12 см. Найдите боковое ребро призмы.

   Периметр основания призмы равен 12 см, тогда сторона основания равна:

   \[a = \frac{12}{4} = 3 \text{ см}\]

   Площадь боковой грани равна произведению стороны основания на боковое ребро (высоту):

   \[S_\text{бок.гр.} = a \cdot h\]

   Тогда боковое ребро (высота) призмы равна:

   \[h = \frac{S_\text{бок.гр.}}{a} = \frac{48}{3} = 16 \text{ см}\]

   Боковое ребро призмы равно 16 см.

3. Задача 3:

   Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 60°, а боковое ребро 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

   Так как угол при вершине равен 60°, боковая грань является равносторонним треугольником со стороной 6 см.

   Площадь равностороннего треугольника:

   \[S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

   Тогда площадь одной боковой грани:

   \[S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2\]

   Площадь боковой поверхности пирамиды:

   \[S_\text{бок} = 3 \cdot 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2\]

4. Задача 4:

   Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см. Высота призмы равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

   Боковая поверхность состоит из двух прямоугольников со сторонами 5 см и 10 см, и одного прямоугольника со сторонами 8 см и 10 см.

   Площадь боковой поверхности:

   \[S_\text{бок} = 2 \cdot (5 \cdot 10) + (8 \cdot 10) = 100 + 80 = 180 \text{ см}^2\]

• Задача 1: а) 4 см, б) 32 см²
• Задача 2: 16 см
• Задача 3: 27\(\sqrt{3}\) см²
• Задача 4: 180 см²

Ответ: а) 4 см, б) 32 см², 16 см, 27\(\sqrt{3}\) см², 180 см²

Математический Гений: Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке