Вариант 1 1. B AABC ∠A = 45°, <В = 60°, ВС = 3√2. Найдите АС. 2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. 3. Определите вид ДАВС, если А(3;9), B(0;6), C(4;2). 4. Вычислите косинус угла между векторами {3; −4} и Б{15; 8). 5. Найдите значение х, если известно, что векторы а{2; -3} и Б{х; -4} перпендикулярны.

Решение:

1. Для решения задачи используем теорему синусов:

   $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$

   $$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A}$$

   У нас ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2.

   $$\sin A = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\sin B = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3}$$

   Ответ: $$AC = 3\sqrt{3}$$

2. Для решения задачи используем теорему косинусов:

   Пусть a = 7 см, b = 8 см, угол между ними γ = 120°. Третья сторона c равна:

   $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

   $$\cos 120° = -\frac{1}{2}$$

   $$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 49 + 64 + 56 = 169$$

   $$c = \sqrt{169} = 13$$

   Ответ: 13 см

3. Координаты вершин треугольника: A(3;9), B(0;6), C(4;2).

   Найдем длины сторон треугольника:

   $$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

   $$BC = \sqrt{(4-0)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

   $$AC = \sqrt{(4-3)^2 + (2-9)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

   Так как $$AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 18 + 32 = 50 = (5\sqrt{2})^2 = AC^2$$, то по теореме Пифагора треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине B.

   Ответ: Прямоугольный

4. Пусть вектор a{3; -4} и вектор b{15; 8}.

   Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

   $$\cos \alpha = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{|a| |b|}$$

   Найдем скалярное произведение векторов a и b:

   $$a_x b_x + a_y b_y = 3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13$$

   Найдем модули векторов a и b:

   $$|a| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

   $$|b| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

   Тогда

   $$\cos \alpha = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85}$$

   Ответ: $$\frac{13}{85}$$

5. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.

   Пусть вектор a{2; -3} и вектор b{x; -4}.

   $$a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y = 0$$

   $$2 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = 0$$

   $$2x + 12 = 0$$

   $$2x = -12$$

   $$x = -6$$

   Ответ: -6