Вариант 2 ∫(x²-6x+9) dx; ∫(6/x³+9x²-5)dx; ∫(3x⁴-2x²+6/x²) dx; ∫cos²(π/2-x/8) dx;

Задание 1

\[\int_1^4 (x^2 - 6x + 9) dx\]

Первообразная функции:

\[F(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x\]

Вычисляем определенный интеграл:

\[F(4) - F(1) = (\frac{4^3}{3} - 3(4)^2 + 9(4)) - (\frac{1^3}{3} - 3(1)^2 + 9(1))\]

\[= (\frac{64}{3} - 48 + 36) - (\frac{1}{3} - 3 + 9)\]

\[= \frac{64}{3} - 12 - \frac{1}{3} - 6\]

\[= \frac{63}{3} - 18\]

\[= 21 - 18 = 3\]

Ответ: 3

Задание 2

\[\int_1^2 (\frac{6}{x^3} + 9x^2 - 5) dx\]

\[\int_1^2 (6x^{-3} + 9x^2 - 5) dx\]

Первообразная функции:

\[F(x) = -3x^{-2} + 3x^3 - 5x\]

\[F(x) = -\frac{3}{x^2} + 3x^3 - 5x\]

Вычисляем определенный интеграл:

\[F(2) - F(1) = (-\frac{3}{2^2} + 3(2)^3 - 5(2)) - (-\frac{3}{1^2} + 3(1)^3 - 5(1))\]

\[= (-\frac{3}{4} + 24 - 10) - (-3 + 3 - 5)\]

\[= -\frac{3}{4} + 14 + 5\]

\[= 19 - \frac{3}{4} = \frac{76 - 3}{4} = \frac{73}{4}\]

Ответ: 73/4

Задание 3

\[\int_1^3 (\frac{3x^4 - 2x^2 + 6}{x^2}) dx\]

\[\int_1^3 (3x^2 - 2 + 6x^{-2}) dx\]

Первообразная функции:

\[F(x) = x^3 - 2x - 6x^{-1}\]

\[F(x) = x^3 - 2x - \frac{6}{x}\]

Вычисляем определенный интеграл:

\[F(3) - F(1) = (3^3 - 2(3) - \frac{6}{3}) - (1^3 - 2(1) - \frac{6}{1})\]

\[= (27 - 6 - 2) - (1 - 2 - 6)\]

\[= 19 - (-7) = 19 + 7 = 26\]

Ответ: 26

Задание 4

\[\int_0^{2\pi} cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{8}) dx\]

Используем формулу понижения степени: cos²(α) = (1 + cos(2α))/2

\[\int_0^{2\pi} \frac{1 + cos(2(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{8}))}{2} dx\]

\[\int_0^{2\pi} \frac{1 + cos(\pi - \frac{x}{4})}{2} dx\]

\[\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + cos(\pi - \frac{x}{4})) dx\]

Первообразная функции:

\[F(x) = \frac{1}{2} [x - 4sin(\pi - \frac{x}{4})]\]

\[F(x) = \frac{x}{2} - 2sin(\pi - \frac{x}{4})\]

Вычисляем определенный интеграл:

\[F(2\pi) - F(0) = (\frac{2\pi}{2} - 2sin(\pi - \frac{2\pi}{4})) - (\frac{0}{2} - 2sin(\pi - \frac{0}{4}))\]

\[= (\pi - 2sin(\frac{\pi}{2})) - (0 - 2sin(\pi))\]

\[= (\pi - 2(1)) - (0 - 2(0))\]

\[= \pi - 2\]

Ответ: π - 2