Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 1 1. ∠A = ∠A₁, AC = 8 см, А₁В₁ = 24 см - большая сторона ДА1В1С1. Найти В1С1 и А1С1. 2. В треугольнике АВС прямая MN, параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN = 15 см и NC = 5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если АС = 15 см. 3. Дано: АВCD параллелограмм (рис. 36.1), BL:LC = 7:5, АВ = 105 см. Найдите: a) BK; б) отношение площадей треугольников BKL и ADK. Вариант 2 1. Дано: ДАВС - ДАВС, АВ₁ = 12 см, В₁С₁ = 14 см, А₁С₁ = 16 см, АС = 4 см - мень-шая сторона ∆ABC, ∠A = ∠A₁. Найти: АВ И ВС. 2. В треугольнике АВС со сторонами АС = 12 см и АВ = 18 см проведена прямая MN, параллельная AC (M∈ AB, N∈ BC), MN = 9 см. Найдите ВМ. 3. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 36.2), AL:LC = 7:5, АВ = 15 см. Найдите: a) BM; б) отношение площадей треугольников AML и CDL.
Ответ:
Вариант 1
-
Так как треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Значит, \(\frac{AC}{A_1B_1} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\). Следовательно, \(A_1C_1 = 3AC = 3 \cdot 8 = 24\) см и \(B_1C_1 = 3BC\).
-
По теореме о пропорциональных отрезках, \(\frac{BN}{NC} = \frac{BM}{MA}\), значит \(\frac{15}{5} = \frac{BM}{MA}\), следовательно \(\frac{BM}{MA} = 3\) или \(BM = 3MA\).
Так как MN параллельна AC, треугольники BMN и BAC подобны. Поэтому \(\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}\). \(BA = BM + MA = 3MA + MA = 4MA\), следовательно, \(\frac{MN}{15} = \frac{3MA}{4MA} = \frac{3}{4}\), откуда \(MN = \frac{3 \cdot 15}{4} = 11.25\) см.
-
а) Так как ABCD параллелограмм, то BC = AD и AB || CD. Треугольники BKL и DKA подобны по двум углам (∠BKL = ∠ADK как соответственные при параллельных прямых, ∠LBK = ∠KDA как накрест лежащие при параллельных прямых). Коэффициент подобия \(k = \frac{BL}{AD} = \frac{BL}{BC}\). Так как BL:LC = 7:5, то BL = 7x, LC = 5x, следовательно BC = BL + LC = 7x + 5x = 12x.
Тогда \(k = \frac{7x}{12x} = \frac{7}{12}\). Значит, \(\frac{BK}{AK} = \frac{7}{12}\). Так как AB = 105 см, то AK = AB - BK. Тогда \(\frac{BK}{105 - BK} = \frac{7}{12}\). Отсюда 12BK = 735 - 7BK, 19BK = 735, BK = \(\frac{735}{19}\) ≈ 38,68 см.
б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, \(\frac{S_{BKL}}{S_{ADK}} = k^2 = (\frac{7}{12})^2 = \frac{49}{144}\).
Вариант 2
-
Так как треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны и углы равны. Дано \(AC = 4\) см, \(A_1B_1 = 12\) см, \(B_1C_1 = 14\) см, \(A_1C_1 = 16\) см. Коэффициент подобия \(k = \frac{A_1B_1}{AC} = \frac{12}{4} = 3\).
Значит, \(AB = \frac{A_1B_1}{k} = \frac{12}{3} = 4\) см и \(BC = \frac{B_1C_1}{k} = \frac{14}{3}\) см. Итак, \(AB = 4\) см, \(BC = \frac{14}{3}\) см.
-
По теореме о пропорциональных отрезках, \(\frac{AM}{MB} = \frac{CN}{NB}\). \(\frac{AM}{MB} = \frac{AB - BM}{BM}\). Так как MN параллельна AC, то треугольники BMN и BAC подобны. Поэтому \(\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}\). Значит, \(\frac{9}{12} = \frac{BM}{18}\), следовательно \(BM = \frac{9 \cdot 18}{12} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 6}{4} = \frac{27}{2} = 13.5\) см.
-
a) Так как ABCD параллелограмм, то AD = BC и AB || CD. Треугольники AML и CDL подобны по двум углам (∠MAL = ∠LCD как накрест лежащие при параллельных прямых, ∠MLA = ∠DLC как вертикальные). Коэффициент подобия \(k = \frac{AL}{LC} = \frac{7}{5}\). Тогда \(\frac{AM}{CD} = \frac{7}{5}\). Так как CD = AB = 15 см, то AM = \(\frac{7 \cdot 15}{5} = 21\) см.
Так как AM = AB + BM, то BM = AM - AB = 21 - 15 = 6 см.
б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, \(\frac{S_{AML}}{S_{CDL}} = k^2 = (\frac{7}{5})^2 = \frac{49}{25}\).
