Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x - 7) - 2x(3x-5); б) 4a(a-2) - (a-4)²; • 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6) -5a²-10ab - 5b2. 3. Упростите выражение (y2-2y)² - y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х - у² - у. 5. Докажите, что выражение х2-4х + 9 при любых зна- чениях х принимает положительные значения.

1. Упростите выражение:

a) \[ (x-3)(x-7) - 2x(3x-5) \]

• Раскрываем скобки: \[ x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x \]
• Приводим подобные слагаемые: \[ x^2 - 6x^2 - 7x - 3x + 10x + 21 \]
• Упрощаем: \[ -5x^2 - 0x + 21 \]

Ответ: \[ -5x^2 + 21 \]

б) \[ 4a(a-2) - (a-4)^2 \]

• Раскрываем скобки: \[ 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) \]
• Упрощаем: \[ 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 \]
• Приводим подобные слагаемые: \[ 4a^2 - a^2 - 8a + 8a - 16 \]

Ответ: \[ 3a^2 - 16 \]

2. Разложите на множители:

a) \[ x^3 - 9x \]

• Выносим общий множитель x: \[ x(x^2 - 9) \]
• Разность квадратов: \[ x(x - 3)(x + 3) \]

Ответ: \[ x(x - 3)(x + 3) \]

б) \[ -5a^2 - 10ab - 5b^2 \]

• Выносим общий множитель -5: \[ -5(a^2 + 2ab + b^2) \]
• Квадрат суммы: \[ -5(a + b)^2 \]

Ответ: \[ -5(a + b)^2 \]

3. Упростите выражение

\[ (y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5) \]

• Раскрываем скобки: \[ y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y \]
• Упрощаем: \[ y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y \]
• Приводим подобные слагаемые: \[ y^4 - y^4 - 4y^3 + 4y^3 + 4y^2 + 9y^2 + 10y \]

Ответ: \[ 13y^2 + 10y \]

4. Разложите на множители:

a) \[ 16x^4 - 81 \]

• Разность квадратов: \[ (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \]
• Разность квадратов: \[ (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \]

Ответ: \[ (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \]

б) \[ x^2 - x - y^2 - y \]

• Группируем: \[ (x^2 - y^2) - (x + y) \]
• Разность квадратов: \[ (x - y)(x + y) - (x + y) \]
• Выносим общий множитель: \[ (x + y)(x - y - 1) \]

Ответ: \[ (x + y)(x - y - 1) \]

5. Докажите, что выражение \( x^2 - 4x + 9 \) принимает положительные значения.

• Выделяем полный квадрат: \[ x^2 - 4x + 4 + 5 \]
• Сворачиваем квадрат: \[ (x - 2)^2 + 5 \]

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \( (x - 2)^2 \ge 0 \), следовательно, \( (x - 2)^2 + 5 \ge 5 > 0 \). Таким образом, выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение \( x^2 - 4x + 9 \) всегда принимает положительные значения.