Вариант 2 • 1. Решите уравнение: 3x+4 x² a) = ; x²-16 x²-16 6) 3+8 x-5 x = 2. 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость ка- тера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

1. Решим уравнение:

а) \[\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\]

• Так как знаменатели одинаковы, приравниваем числители:

\[3x + 4 = x^2\]

• Преобразуем уравнение к виду квадратного:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[(x-4)(x+1) = 0\]

• Корни уравнения:

\[x_1 = 4, \quad x_2 = -1\]

• Проверка ОДЗ:

\[x^2 - 16
eq 0 \Rightarrow x
eq \pm 4\]

• Окончательный ответ:

\[x = -1\]

б) \[\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\]

• Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\]

• Раскроем скобки и упростим:

\[3x + 8x - 40 = 2x(x-5)\]

\[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

• Приведем к квадратному уравнению:

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\]

\[x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{21 \pm 11}{4}\]

• Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\]

\[x_2 = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

• Проверка ОДЗ:

\[x
eq 5, \quad x
eq 0\]

• Окончательный ответ:

\[x_1 = 8, \quad x_2 = 2.5\]

2. Решим задачу:

• Пусть x км/ч - собственная скорость катера.
• Тогда скорость против течения: x - 3 км/ч.
• Скорость по течению: x + 3 км/ч.
• Время против течения: \[\frac{12}{x-3}\] ч.
• Время по течению: \[\frac{5}{x+3}\] ч.
• Время по озеру: \[\frac{18}{x}\] ч.
• По условию задачи:

\[\frac{12}{x-3} + \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x}\]

• Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{12(x+3) + 5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{x}\]

\[\frac{12x + 36 + 5x - 15}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}\]

\[\frac{17x + 21}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}\]

• Перекрестное умножение:

\[x(17x + 21) = 18(x^2 - 9)\]

\[17x^2 + 21x = 18x^2 - 162\]

• Преобразуем уравнение:

\[x^2 - 21x - 162 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089\]

\[x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 \pm 33}{2}\]

• Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

\[x_2 = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

• Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

\[x = 27\]