Вариант 3 • 1. Докажите неравенство: a) (x-3)2 x(x-6); б) у²+12(5y-12). • 2. Известно, что х<у. Сравните: а) 8х и 8у; б) 1,4х и 1,4у; в) -5,бу и 5,6х. Результат сравнения запишите в виде неравенства. 3. Известно, что 3,6 <13<3,7. Оцените: a) 3/13; б)-2/13. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 <х<1,2, 1,5<y<1,6. 5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

Ответ: Решения ниже.

1. Докажите неравенство:

a) \[ (x-3)^2 > x(x-6) \]

• Раскрываем скобки: \[ x^2 - 6x + 9 > x^2 - 6x \]
• Упрощаем: \[ 9 > 0 \]

Так как 9 > 0, неравенство доказано.

б) \[ y^2 + 1 \geq 2(5y - 12) \]

• Раскрываем скобки: \[ y^2 + 1 \geq 10y - 24 \]
• Переносим все в одну сторону: \[ y^2 - 10y + 25 \geq 0 \]
• Замечаем полный квадрат: \[ (y - 5)^2 \geq 0 \]

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство доказано.

2. Известно, что x < y. Сравните:

a) 8x и 8y

Так как x < y и 8 > 0, то \[ 8x < 8y \]

б) -1.4x и -1.4y

Так как x < y и -1.4 < 0, то \[ -1.4x > -1.4y \]

в) -5.6y и -5.6x

Так как x < y и -5.6 < 0, то \[ -5.6y < -5.6x \]

3. Известно, что 3.6 < √13 < 3.7. Оцените:

a) \( 3\sqrt{13} \)

• Умножаем все части неравенства на 3: \[ 3 \cdot 3.6 < 3\sqrt{13} < 3 \cdot 3.7 \]
• Вычисляем: \[ 10.8 < 3\sqrt{13} < 11.1 \]

б) \( -2\sqrt{13} \)

• Умножаем все части неравенства на -2 (знаки меняются): \[ -2 \cdot 3.7 < -2\sqrt{13} < -2 \cdot 3.6 \]
• Вычисляем: \[ -7.4 < -2\sqrt{13} < -7.2 \]

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами x см и y см, если известно, что 1.1 < x < 1.2, 1.5 < y < 1.6.

Периметр: P = 2(x + y)

• Складываем неравенства: \[ 1.1 + 1.5 < x + y < 1.2 + 1.6 \]
• Вычисляем: \[ 2.6 < x + y < 2.8 \]
• Умножаем на 2: \[ 2 \cdot 2.6 < 2(x + y) < 2 \cdot 2.8 \]
• Вычисляем: \[ 5.2 < P < 5.6 \]

Площадь: S = x \cdot y

• Перемножаем неравенства: \[ 1.1 \cdot 1.5 < x \cdot y < 1.2 \cdot 1.6 \]
• Вычисляем: \[ 1.65 < S < 1.92 \]

5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

Пусть числа будут n-1, n, n+1.

• Квадрат среднего: \[ n^2 \]
• Произведение двух других: \[ (n-1)(n+1) = n^2 - 1 \]

Сравниваем: \[ n^2 > n^2 - 1 \]

Квадрат среднего числа больше произведения двух других.

Ответ: Решения выше.