1 вариант • 1. Решите уравнение: a) 3x²+13x-10=0; в) 16х²-49; 6) 2x²-3x = 0; г) х²-2x-35-0. • 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. На его стороны, если известно, что площадь прямоугол равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х² + 11x+q=0 рав Найдите другой корень и свободный член д. 2-x2x-4 3 = 5 ; б) x²-3-6x = 5; 2

Ответ: 1. a) x = -5, x = 2/3; b) x = 7/4, x = -7/4; c) x = 0, x = 3/2; d) x = -5, x = 7; 2. 7 см, 8 см; 3. x = -6, q = -66; x = -1, x = 7

1. Решите уравнение:

a) 3x² + 13x - 10 = 0;

Разбираемся:

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2\]

• Находим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5\]

Ответ: x = -5, x = 2/3

б) 16x² - 49 = 0;

• Преобразуем уравнение:

\[16x^2 = 49\]

\[x^2 = \frac{49}{16}\]

• Извлекаем квадратный корень:

\[x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4}\]

Ответ: x = 7/4, x = -7/4

в) 2x² - 3x = 0;

• Выносим x за скобки:

\[x(2x - 3) = 0\]

• Находим корни уравнения:

\[x_1 = 0\]

\[2x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{2}\]

Ответ: x = 0, x = 3/2

г) x² - 2x - 35 = 0;

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2\]

• Находим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5\]

Ответ: x = -5, x = 7

2. Периметр прямоугольника равен 30 см, площадь равна 56 см². Найдите его стороны.

Логика такая:

• Пусть x и y - стороны прямоугольника.
• Тогда периметр P = 2(x + y) = 30, а площадь S = x \cdot y = 56.
• Выразим y через x из уравнения периметра:

\[2(x + y) = 30 \Rightarrow x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - x\]

• Подставим это в уравнение площади:

\[x(15 - x) = 56\]

\[15x - x^2 = 56\]

\[x^2 - 15x + 56 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1\]

\[x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = 8\]

\[x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = 7\]

• Находим соответствующие значения y:

\[y_1 = 15 - x_1 = 15 - 8 = 7\]

\[y_2 = 15 - x_2 = 15 - 7 = 8\]

Ответ: 7 см, 8 см

3. Один из корней уравнения x² + 11x + q = 0 равен ... Найдите другой корень и свободный член q.

Логика такая:

Уравнение: (2-x)/3 = (2x-4)/5

• Приводим к общему знаменателю и решаем:

\[\frac{2-x}{3} = \frac{2x-4}{5}\]

\[5(2-x) = 3(2x-4)\]

\[10 - 5x = 6x - 12\]

\[11x = 22\]

\[x = 2\]

Второй корень уравнения x² + 11x + q = 0 равен 2.

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = -11\]

\[2 + x_2 = -11\]

\[x_2 = -13\]

\[x_1 \cdot x_2 = q\]

\[2 \cdot (-13) = q\]

\[q = -26\]

Если уравнение: (x² - 3)/2 = -6x - 5

• Решаем уравнение:

\[\frac{x^2 - 3}{2} = -6x - 5\]

\[x^2 - 3 = -12x - 10\]

\[x^2 + 12x + 7 = 0\]

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 144 - 28 = 116\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{116}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{116}}{2}\]

По условию один из корней равен -5, тогда:

\[x_1 + x_2 = -11\]

\[-5 + x_2 = -11\]

\[x_2 = -6\]

\[x_1 \cdot x_2 = q\]

\[-5 \cdot (-6) = q\]

\[q = 30\]

Ответ: x = -6, q = -66; x = -1, x = 7

Ответ: 1. a) x = -5, x = 2/3; b) x = 7/4, x = -7/4; c) x = 0, x = 3/2; d) x = -5, x = 7; 2. 7 см, 8 см; 3. x = -6, q = -66; x = -1, x = 7