17. Валера и Алина неправильно сокращают дроби. Валера из числителя вычитает 4, а из знаменателя – 3. Например, дробь $$\frac{8}{6}$$ он сократил так: $$\frac{8-4}{6-3}=\frac{4}{3}$$. Алина из числителя вычитает 5, а из знаменателя – 2. Например, дробь $$\frac{10}{4}$$ она сократила так: $$\frac{10-5}{4-2}=\frac{5}{2}$$. Валера и Алина решили вместе сократить дробь $$\frac{644}{645}$$ в десять действий, причём каждый придерживался своих правил. В результате они получили дробь со знаменателем 618. Найди числитель этой дроби, учитывая, что ребята преобразовывали её не по очереди.

Привет, ребята! Давайте разберемся с этой интересной задачей. Валера и Алина применяют свои методы сокращения дробей, и нам нужно понять, как они это сделали с дробью $$\frac{644}{645}$$, чтобы в итоге получить дробь со знаменателем 618. Пусть Валера выполнил $$x$$ действий, а Алина выполнила $$y$$ действий. Тогда, согласно условию, $$x + y = 10$$. После каждого действия Валеры числитель уменьшается на 4, а знаменатель уменьшается на 3. После каждого действия Алины числитель уменьшается на 5, а знаменатель уменьшается на 2. Таким образом, если исходная дробь $$\frac{644}{645}$$, то после $$x$$ действий Валеры и $$y$$ действий Алины мы получим дробь: $$\frac{644 - 4x - 5y}{645 - 3x - 2y}$$ Нам известно, что знаменатель получившейся дроби равен 618. Следовательно: $$645 - 3x - 2y = 618$$ $$3x + 2y = 645 - 618$$ $$3x + 2y = 27$$ Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$\begin{cases} x + y = 10 \\ 3x + 2y = 27 \end{cases}$$ Умножим первое уравнение на 2: $$2x + 2y = 20$$ Вычтем это уравнение из второго уравнения: $$(3x + 2y) - (2x + 2y) = 27 - 20$$ $$x = 7$$ Теперь найдем $$y$$: $$y = 10 - x = 10 - 7 = 3$$ Итак, Валера выполнил 7 действий, а Алина – 3 действия. Теперь найдем числитель получившейся дроби: $$644 - 4x - 5y = 644 - 4 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = 644 - 28 - 15 = 644 - 43 = 601$$ Таким образом, числитель получившейся дроби равен 601. **Ответ: 601**