В2. Апофема правильной четырёхугольной MPRST равна 6, радиус описанной около основания окружности равен 4. Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.

Решение:

Дано: Правильная четырёхугольная пирамида MPRST. Апофема \( l = 6 \). Радиус описанной окружности основания \( R = 4 \).

Найти: Косинус двугранного угла при основании пирамиды.

1. Определим высоту пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( l \), радиусом описанной окружности \( R \) и высотой пирамиды \( H \). По теореме Пифагора:

\[ H^2 + R^2 = l^2 \]

\[ H^2 + 4^2 = 6^2 \]

\[ H^2 + 16 = 36 \]

\[ H^2 = 36 - 16 = 20 \]

\[ H = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

2. Определим сторону основания.

Для правильного четырёхугольника (квадрата) радиус описанной окружности связан со стороной основания \( a \) формулой:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

\[ 4 = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

\[ a = 4\sqrt{2} \]

3. Найдем апофему основания (высоту боковой грани).

В основании лежит квадрат. Высота боковой грани, проведенная к середине стороны основания, образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и апофемой пирамиды. Апофема основания \( r \) — это половина стороны квадрата:

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

4. Найдем косинус двугранного угла.

Двугранный угол при основании пирамиды — это угол между апофемой основания \( r \) и апофемой пирамиды \( l \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), апофемой основания \( r \) и апофемой пирамиды \( l \). Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета (апофемы основания) к гипотенузе (апофеме пирамиды).

\[ \cos \alpha = \frac{r}{l} \]

\[ \cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{6} \]

\[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Ответ: Косинус двугранного угла при основании пирамиды равен \( \frac{\sqrt{2}}{3} \).