В10. а) На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Известно, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный. б) На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Известно, что углы ADB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный. в) На стороне AC равнобедренного треугольника ABC выбраны точки D и E так, что углы ADB и BEC равны. Докажите, что AD = EC.

а) Так как точки D и E лежат на отрезке AC и AD = CE, то середина отрезка AC является также серединой отрезка DE.

Из равенства BD = BE следует, что точка B лежит на серединном перпендикуляре к DE. Этот же серединный перпендикуляр проходит через середину AC, поскольку середины отрезков AC и DE совпадают.

Следовательно, B равноудалена от концов отрезка AC:

\(AB = BC\).

Ответ: \(AB = BC\), поэтому треугольник ABC равнобедренный.

б) Поскольку точки A, D, E, C лежат на одной прямой, а \(AD = CE\), точки D и E симметричны относительно середины отрезка AC.

Из равенства углов \(\angle ADB = \angle BEC\) следует, что прямые DB и EB образуют с прямой AC равные углы. Значит, треугольник DBE равнобедренный:

\(BD = BE\).

Теперь применяем результат пункта а): из равенств \(AD = CE\) и \(BD = BE\) следует, что

\(AB = BC\).

Ответ: \(AB = BC\), поэтому треугольник ABC равнобедренный.

в) Так как треугольник ABC равнобедренный, его боковые стороны равны:

\(AB = BC\).

Следовательно, равны углы при основании:

\(\angle BAC = \angle BCA\).

Так как D и E лежат на стороне AC, имеем:

\(\angle BAD = \angle BCE\).

По условию:

\(\angle ADB = \angle BEC\).

Значит, треугольники ADB и CEB подобны по двум углам:

\(\triangle ADB \sim \triangle CEB\).

Из подобия соответствующих сторон:

\(\frac{AD}{CE} = \frac{AB}{CB}\).

Но \(AB = CB\), поэтому \(\frac{AB}{CB}=1\). Следовательно, \(\frac{AD}{CE}=1\), откуда

\(AD = CE\).

Ответ: \(AD = EC\).