В1 Решите систему уравнений: { x - y = 4, x² - 2xy - y² = 14.

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 - 2xy - y^2 = 14 \end{cases} \)

1. Из первого уравнения выразим \( x \) через \( y \): \( x = y + 4 \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( (y+4)^2 - 2(y+4)y - y^2 = 14 \)
3. Раскроем скобки: \( (y^2 + 8y + 16) - (2y^2 + 8y) - y^2 = 14 \)
4. Упростим: \( y^2 + 8y + 16 - 2y^2 - 8y - y^2 = 14 \)
5. Приведём подобные слагаемые: \( (y^2 - 2y^2 - y^2) + (8y - 8y) + 16 = 14 \)
6. \( -2y^2 + 16 = 14 \)
7. Перенесём \( 16 \) в правую часть: \( -2y^2 = 14 - 16 \)
8. \( -2y^2 = -2 \)
9. Разделим обе части на \( -2 \): \( y^2 = 1 \)
10. Отсюда получаем два возможных значения для \( y \): \( y = 1 \) или \( y = -1 \).
11. Теперь найдём соответствующие значения \( x \) для каждого \( y \), используя \( x = y + 4 \):
12. Если \( y = 1 \), то \( x = 1 + 4 = 5 \).
13. Если \( y = -1 \), то \( x = -1 + 4 = 3 \).
14. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (5; 1) \) и \( (3; -1) \).