В1. Моторная лодка прошла 63 км по течению реки и 45 км против течения, затратив на весь путь 6 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если известно, что, двигаясь 5 ч по течению реки, она проходит тот же путь, что за 7 ч. Против течения.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч), а \( u \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v + u \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - u \) км/ч.

Из условия задачи составим систему уравнений:

Первое условие: лодка прошла 63 км по течению и 45 км против течения за 6 часов.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{63}{v+u} \)

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{45}{v-u} \)

Общее время: \( t_1 + t_2 = 6 \)

\[ \frac{63}{v+u} + \frac{45}{v-u} = 6 \]

Второе условие: двигаясь 5 ч по течению реки, она проходит тот же путь, что за 7 ч против течения.

Путь по течению за 5 часов: \( S_1 = 5(v+u) \)

Путь против течения за 7 часов: \( S_2 = 7(v-u) \)

Так как пути равны: \( S_1 = S_2 \)

\[ 5(v+u) = 7(v-u) \]

\[ 5v + 5u = 7v - 7u \]

\[ 5u + 7u = 7v - 5v \]

\[ 12u = 2v \]

\[ v = 6u \]

Теперь подставим \( v = 6u \) в первое уравнение:

\[ \frac{63}{6u+u} + \frac{45}{6u-u} = 6 \]

\[ \frac{63}{7u} + \frac{45}{5u} = 6 \]

\[ \frac{9}{u} + \frac{9}{u} = 6 \]

\[ \frac{18}{u} = 6 \]

\[ u = \frac{18}{6} \]

\[ u = 3 \]

Теперь найдем \( v \), используя \( v = 6u \):

\[ v = 6 × 3 \]

\[ v = 18 \]

Скорость лодки в стоячей воде = 18 км/ч.

Скорость течения = 3 км/ч.

Ответ: скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения 3 км/ч.