В жаркий день для охлаждения яблочного сока массой т. = 300 г, находящего при температуре 1₁ = 20 °С, Вася использовал кубики льда из морозилки. Длина ребра кубика а = 2 см, начальная температура 12 = -15 °С. Теплообменом сока и кубиков с окружающей средой и стаканом можно пренебречь. Удельная теплоёмкость сока се = 4200 Дж/(кг.°С), удельная теплоёмкость льда с = 2100 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда 2 = 330 кДж/кг. 1) Определите массу одного кубика льда, если плотность льда р = 900 кг/м³. 2) Вася опускал кубики в сок до тех пор, пока они не перестали таять. Какой стала температура содержимого стакана? 3) Какое минимальное количество кубиков Васе для этого понадобилось? Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

1) Масса одного кубика льда

• Объем кубика: \[V = a^3 = (0.02 \, \text{м})^3 = 8 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^3\]
• Масса кубика льда: \[m_{\text{льда}} = ρV = 900 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 8 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^3 = 0.0072 \, \text{кг} = 7.2 \, \text{г}\]

2) Температура содержимого стакана

• Тепло, которое необходимо для нагревания льда от -15 °C до 0 °C: \[Q_1 = m_{\text{льда}} c_{\text{льда}} ΔT_1 = 0.0072 \, \text{кг} \cdot 2100 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot °\text{C}} \cdot 15 \, °\text{C} = 226.8 \, \text{Дж}\]
• Тепло, необходимое для плавления льда: \[Q_2 = m_{\text{льда}} λ = 0.0072 \, \text{кг} \cdot 330000 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 2376 \, \text{Дж}\]
• Тепло, отданное соком при охлаждении до 0 °C: \[Q_3 = m_{\text{сока}} c_{\text{сока}} ΔT_2 = 0.3 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot °\text{C}} \cdot 20 \, °\text{C} = 25200 \, \text{Дж}\]
• Сравним тепло, отданное соком, и тепло, необходимое для плавления льда: \[Q_3 > Q_1 + Q_2\] Значит, лед растает, и конечная температура будет выше 0 °C.
• Составим уравнение теплового баланса: \[m_{\text{сока}} c_{\text{сока}} (T_1 - T_{\text{кон}}) = m_{\text{льда}} c_{\text{льда}} (0 - T_2) + m_{\text{льда}} λ + m_{\text{льда}} c_{\text{воды}} (T_{\text{кон}} - 0)\]
• Подставим значения и решим уравнение относительно T_кон: \[0.3 \cdot 4200 \cdot (20 - T_{\text{кон}}) = 0.0072 \cdot 2100 \cdot 15 + 0.0072 \cdot 330000 + 0.0072 \cdot 4200 \cdot T_{\text{кон}}\] \[12600 \cdot (20 - T_{\text{кон}}) = 0.0072 \cdot 2100 \cdot 15 + 0.0072 \cdot 330000 + 0.0072 \cdot 4200 \cdot T_{\text{кон}}\] \[252000 - 12600T_{\text{кон}} = 226.8 + 2376 + 30.24T_{\text{кон}}\] \[252000 - 12600T_{\text{кон}} = 2602.8 + 30.24T_{\text{кон}}\] \[249397.2 = 12630.24T_{\text{кон}}\] \[T_{\text{кон}} = \frac{249397.2}{12630.24} ≈ 19.74 \, °\text{C}\]

3) Минимальное количество кубиков

• Тепло, которое нужно отвести от сока, чтобы охладить его до 0 °C: \[Q_{\text{отв}} = m_{\text{сока}} c_{\text{сока}} ΔT = 0.3 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot °\text{C}} \cdot 19.74 \, °\text{C} ≈ 24872.4 \, \text{Дж}\]
• Тепло, которое может забрать один кубик льда: \[Q_{\text{куб}} = 226.8 + 2376 + 0 = 2602.8 \, \text{Дж}\]
• Необходимое количество кубиков льда: \[n = \frac{Q_{\text{отв}}}{Q_{\text{куб}}} = \frac{24872.4}{2602.8} ≈ 9.56\]
• Округлим до целого числа, так как нельзя использовать часть кубика: 10 кубиков