1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина В соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что ∠ABE = ∠CBD, ∠BEA = ∠BDC. Докажите, что периметры четырехугольников ABDE и BEDC равны.

Для доказательства равенства периметров четырехугольников ABDE и BEDC, рассмотрим треугольники ABE и CBD.

1. ∠ABE = ∠CBD (по условию).

2. Так как диагонали, соединяющие вершину B с другими вершинами равны, то AB = BC и BE = BD (по условию).

Тогда треугольники ABE и CBD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AE = CD.

Аналогично, рассмотрим треугольники BEA и BDC:

1. ∠BEA = ∠BDC (по условию).

2. Так как диагонали, соединяющие вершину B с другими вершинами равны, то BE = BD и AB = BC (по условию).

Тогда треугольники BEA и BDC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AE = CD.

Теперь рассмотрим периметры четырехугольников ABDE и BEDC:

Периметр ABDE = AB + BD + DE + EA

Периметр BEDC = BE + ED + DC + CB

Так как AB = BC, BD = BE, AE = CD, то периметры ABDE и BEDC равны.