В вакууме находятся два покрытых кальцием электрода, к которым подключен конденсатор емкостью 4000 пФ. При длительном освещении катода светом фототок, возникший вначале, прекращается, а на конденсаторе появляется заряд, равный 3,3·10⁻¹⁰ Кл. Работа выхода электронов из кальция составляет 4,42·10⁻¹⁹ Дж. Определите длину волны света, освещающего катод. Электроемкостью системы электродов по сравнению с электроемкостью конденсатора пренебречь.

Решение:

Задачу решим, используя закон сохранения энергии в фотоэффекте:

• Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна разности энергии фотона и работы выхода:



\[ E_{k.max} = h\nu - A_{вых} \]



• Работа выхода и длина волны связаны с энергией:



\[ h\nu = \frac{hc}{\lambda} \]



• Где \( h \) — постоянная Планка, \( c \) — скорость света, \( \lambda \) — длина волны.


• Максимальная кинетическая энергия связана с зарядом \( q \) и напряжением \( U \), которое может достичь конденсатор:



\[ E_{k.max} = qU \]



• Напряжение на конденсаторе можно найти из его ёмкости \( C \) и заряда \( q \):



\[ U = \frac{q}{C} \]



• Таким образом, максимальная кинетическая энергия равна:



\[ E_{k.max} = q \cdot \frac{q}{C} = \frac{q^2}{C} \]



• Подставляя это в закон сохранения энергии, получаем:



\[ \frac{q^2}{C} = \frac{hc}{\lambda} - A_{вых} \]



• Выразим длину волны \( \lambda \):



\[ \frac{hc}{\lambda} = \frac{q^2}{C} + A_{вых} \]




\[ \lambda = \frac{hc}{\frac{q^2}{C} + A_{вых}} \]

Теперь подставим числовые значения:

• \( h = 6.626 \times 10^{-34} \) Дж·с (постоянная Планка)


• \( c = 3 \times 10^8 \) м/с (скорость света)


• \( q = 3.3 \times 10^{-10} \) Кл (заряд на конденсаторе)


• \( C = 4000 \) пФ = \( 4000 \times 10^{-12} \) Ф = \( 4 \times 10^{-9} \) Ф (ёмкость конденсатора)


• \( A_{вых} = 4.42 \times 10^{-19} \) Дж (работа выхода)

Вычислим энергию, которую уносит фотоэлектрон:

\[ E_{k.max} = \frac{(3.3 \times 10^{-10} \text{ Кл})^2}{4 \times 10^{-9} \text{ Ф}} = \frac{10.89 \times 10^{-20} \text{ Кл}^2}{4 \times 10^{-9} \text{ Ф}} = 2.7225 \times 10^{-11} \text{ Дж} \]

Теперь найдём энергию фотона:

\[ \frac{hc}{\lambda} = E_{k.max} + A_{вых} = 2.7225 \times 10^{-11} \text{ Дж} + 4.42 \times 10^{-19} \text{ Дж} \]

Заметим, что \( E_{k.max} \) значительно больше \( A_{вых} \), это может указывать на некорректность данных или условия задачи. Если считать, что \( E_{k.max} \) — это энергия, которую мог бы унести фотоэлектрон, и она равна \( qU \), где \( U \) — это максимальное напряжение, достигаемое конденсатором, то \( E_{k.max} \) следует брать как \( qU \). В условии задачи сказано, что заряд \( q \) появляется на конденсаторе, но не сказано, что это максимальный заряд, соответствующий максимальной кинетической энергии. Давайте переосмыслим условие, предполагая, что \( q \) — это заряд, который получил конденсатор, и \( U = q/C \) — это напряжение на конденсаторе. В этом случае \( E_{k.max} \) может быть меньше \( qU \).

Предположим, что \( E_{k.max} \) — это кинетическая энергия фотоэлектрона, а \( q \) — это заряд, который накопился на конденсаторе. Тогда \( E_{k.max} \) не может быть равно \( qU \) если \( U \) вычисляется как \( q/C \) для этого конкретного \( q \), потому что \( E_{k.max} \) — это пиковое значение, а \( q \) — это заряд, который успел накопиться.

Вероятнее всего, подразумевается, что \( E_{k.max} \) — это энергия, которую имел фотоэлектрон. Когда фототок прекращается, это значит, что все фотоны, падающие на катод, либо выбили электрон, либо не смогли этого сделать. Если ток прекращается, то это может быть связано с тем, что энергия фотонов была равна работе выхода, или что фотоны имели достаточную энергию, но электроны не смогли покинуть поверхность из-за потенциала, создаваемого зарядом на конденсаторе.

Если фототок прекращается, это значит, что фотоэлектроны либо перестали вылетать, либо их энергия стала недостаточной для преодоления потенциального барьера, создаваемого зарядом на конденсаторе. Если предположить, что \( E_{k.max} \) — это энергия вылетевшего электрона, а \( q \) — заряд, накопившийся на конденсаторе, то \( E_{k.max} \) может быть больше, чем \( qU = q^2/C \) (если \( U \) — напряжение, при котором ток прекращается).

Давайте переформулируем закон фотоэффекта:

\[ h\nu = A_{вых} + E_{k.max} \]

И знаем, что \( \nu = c/\lambda \), поэтому

\[ \frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + E_{k.max} \]

Теперь самое сложное — определить \( E_{k.max} \) из данных. Если ток прекращается, то напряжение на конденсаторе \( U_{stop} \) (задерживающее напряжение) равно \( E_{k.max}/e \), где \( e \) — элементарный заряд. Но у нас есть заряд \( q \) на конденсаторе, а не задерживающее напряжение. У нас есть \( C \) и \( q \), значит \( U = q/C \). Предположим, что \( U \) — это то самое напряжение, при котором ток прекратился. Это значит, что \( E_{k.max} = eU = e \frac{q}{C} \). Но \( q \) — это заряд, равный \( 3.3 \times 10^{-10} \) Кл. Нам не сказано, что \( e \) — это заряд электрона, хотя работа выхода дана в Джоулях. Будем считать, что \( e \) — это заряд электрона \( 1.602 \times 10^{-19} \) Кл.

\[ E_{k.max} = (1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}) \times \frac{3.3 \times 10^{-10} \text{ Кл}}{4 \times 10^{-9} \text{ Ф}} = (1.602 \times 10^{-19}) \times (0.825 \times 10^{-1}) \text{ Дж} \approx 1.32165 \times 10^{-20} \text{ Дж} \]

Тогда энергия фотона:

\[ \frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + E_{k.max} = 4.42 \times 10^{-19} \text{ Дж} + 1.32165 \times 10^{-20} \text{ Дж} = (4.42 + 0.132165) \times 10^{-19} \text{ Дж} = 4.552165 \times 10^{-19} \text{ Дж} \]

Теперь найдём длину волны:

\[ \lambda = \frac{hc}{\frac{hc}{\lambda}} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \text{с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{4.552165 \times 10^{-19} \text{ Дж}} = \frac{19.878 \times 10^{-26}}{4.552165 \times 10^{-19}} \text{ м} \approx 4.366 \times 10^{-7} \text{ м} \]

Переведём в нанометры: \( 4.366 \times 10^{-7} \text{ м} = 436.6 \text{ нм} \).

Важное замечание: Если в условии под \( q \) подразумевается заряд, вылетевший с катода, и \( C \) — ёмкость конденсатора, то \( U = q/C \) — это напряжение, которое появилось на конденсаторе. Если фототок прекратился, то \( E_{k.max} = eU = e(q/C) \). Работа выхода \( A_{вых} \) дана в Джоулях, а \( q \) — в Кулонах. Учитывая, что \( q \) — это заряд, равный \( 3.3 \times 10^{-10} \) Кл, и \( C = 4 \times 10^{-9} \) Ф, напряжение \( U = \frac{3.3 \times 10^{-10}}{4 \times 10^{-9}} = 0.825 \times 10^{-1} = 0.0825 \) В. Тогда \( E_{k.max} = eU = (1.602 \times 10^{-19}) \times 0.0825 ≈ 1.32 \times 10^{-20} \) Дж. Энергия фотона \( E_{photon} = A_{вых} + E_{k.max} = 4.42 \times 10^{-19} + 1.32 \times 10^{-20} = (4.42 + 0.132) \times 10^{-19} = 4.552 \times 10^{-19} \) Дж. Длина волны \( \lambda = hc / E_{photon} = (6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) / (4.552 \times 10^{-19}) ≈ 4.37 \times 10^{-7} \) м = 437 нм.

Другое возможное толкование: Если \( q \) — это заряд, а \( 4000 \) пФ — это ёмкость, то \( q \) — это заряд, который успел накопиться. Если работа выхода \( 4.42 \times 10^{-19} \) Дж, а заряд \( 3.3 \times 10^{-10} \) Кл, то фототок прекращается. Это значит, что максимальная кинетическая энергия электронов \( E_{k.max} \) равна \( eU \), где \( U \) — задерживающее напряжение. Возможно, \( U \) равно \( q/C \) в момент прекращения тока. В таком случае, \( E_{k.max} = (1.602 \times 10^{-19}) \times (3.3 \times 10^{-10} / 4 \times 10^{-9}) = 1.32 \times 10^{-20} \) Дж. Энергия фотона \( h\nu = A_{вых} + E_{k.max} = 4.42 \times 10^{-19} + 1.32 \times 10^{-20} = 4.552 \times 10^{-19} \) Дж. Длина волны \( \lambda = hc / h\nu = (6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) / (4.552 \times 10^{-19}) ≈ 4.37 \times 10^{-7} \) м = 437 нм.

Ответ: 437 нм.