В2. В тетраэдре RLMN на медиане RP грани RMN взята точка А так, что RA: AP = 6:5. Выразите вектор LA через векторы а = LR, b = LN, ĉ = LM.

Ответ: \[\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{LR} + \frac{6}{11} \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{a} + \frac{6}{11}(\overrightarrow{LP} - \overrightarrow{LR}) = \overrightarrow{a} + \frac{6}{11}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{LN} + \overrightarrow{LM}) - \overrightarrow{LR}) = \overrightarrow{a} + \frac{6}{11}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} + \frac{3}{11}\overrightarrow{b} + \frac{3}{11}\overrightarrow{c} - \frac{6}{11}\overrightarrow{a} = \frac{5}{11}\overrightarrow{a} + \frac{3}{11}\overrightarrow{b} + \frac{3}{11}\overrightarrow{c}\]

1. Выразим вектор \[\overrightarrow{LA}\] через векторы \[\overrightarrow{LR}\] и \[\overrightarrow{RA}\]: \[\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{LR} + \overrightarrow{RA}\]
2. Выразим вектор \[\overrightarrow{RA}\] через вектор \[\overrightarrow{RP}\]: \[\overrightarrow{RA} = \frac{6}{11} \overrightarrow{RP}\]
3. Выразим вектор \[\overrightarrow{RP}\] через векторы \[\overrightarrow{LP}\] и \[\overrightarrow{LR}\]: \[\overrightarrow{RP} = \overrightarrow{LP} - \overrightarrow{LR}\]
4. Выразим вектор \[\overrightarrow{LP}\] через векторы \[\overrightarrow{LN}\] и \[\overrightarrow{LM}\] (так как P - середина MN): \[\overrightarrow{LP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{LN} + \overrightarrow{LM})\]
5. Подставим все выражения в первое уравнение: \[\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{LR} + \frac{6}{11} \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{LR} + \frac{6}{11}(\overrightarrow{LP} - \overrightarrow{LR}) = \overrightarrow{LR} + \frac{6}{11}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{LN} + \overrightarrow{LM}) - \overrightarrow{LR})\]
6. Заменим векторы \[\overrightarrow{LR}\] на \[\overrightarrow{a}\, \overrightarrow{LN}\] на \[\overrightarrow{b}\, \overrightarrow{LM}\] на \[\overrightarrow{c}\]: \[\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{a} + \frac{6}{11}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{a})\]
7. Раскроем скобки и упростим выражение: \[\overrightarrow{LA} = \overrightarrow{a} + \frac{3}{11}\overrightarrow{b} + \frac{3}{11}\overrightarrow{c} - \frac{6}{11}\overrightarrow{a} = \frac{5}{11}\overrightarrow{a} + \frac{3}{11}\overrightarrow{b} + \frac{3}{11}\overrightarrow{c}\]

Ответ: \[\overrightarrow{LA} = \frac{5}{11}\overrightarrow{a} + \frac{3}{11}\overrightarrow{b} + \frac{3}{11}\overrightarrow{c}\]