В угол с вершиной С, равный 68°, вписана окружность с центром О, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Окружность вписана в угол с вершиной C. Это значит, что центр окружности O лежит на биссектрисе угла C, а отрезки OA и OB равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам угла в точках касания A и B соответственно.

1. Рассмотрим четырехугольник CAOB. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.
2. Угол CAO = 90° и угол CBO = 90°, так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным.
3. Угол C = 68° (по условию).
4. Сумма углов четырехугольника CAOB: Угол AOB + Угол CAO + Угол CBO + Угол C = 360°.
5. Угол AOB + 90° + 90° + 68° = 360°.
6. Угол AOB + 248° = 360°.
7. Угол AOB = 360° - 248° = 112°.

Ответ: 112 градусов.