2. В цилиндре проведено сечение, параллельно его оси. Диагональ сечения 16 см. и она составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

1. Шаг 1: Находим расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали сечения, высотой и расстоянием от оси цилиндра до плоскости сечения. Угол между диагональю и плоскостью основания равен 60°. Тогда:

   \[\cos 60^\circ = \frac{x}{\frac{1}{2} \cdot 16}\]

   \[\frac{1}{2} = \frac{x}{8}\]

   \[x = 4 \text{ см}\]

   Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно 4 см.

2. Шаг 2: Находим высоту сечения.

   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

   \[h = \sqrt{16^2 - (2 \cdot 4)^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \text{ см}\]

   Высота сечения, а значит и цилиндра, равна 8√3 см.

3. Шаг 3: Находим объем цилиндра.

   Объем цилиндра вычисляется по формуле:

   \[V = \pi R^2 h\]

   Подставляем значения:

   \[V = \pi \cdot 5^2 \cdot 8\sqrt{3} = 200\sqrt{3} \pi \text{ см}^3\]

4. Шаг 4: Находим площадь полной поверхности цилиндра.

   Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

   \[S = 2\pi R (R + h)\]

   Подставляем значения:

   \[S = 2\pi \cdot 5 (5 + 8\sqrt{3}) = 10\pi (5 + 8\sqrt{3}) = (50 + 80\sqrt{3})\pi \text{ см}^2\]

1. Находим половину стороны основания сечения:
2. \(\sin 60 = \frac{h}{16}\)
3. h = 16*\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 8\(\sqrt{3}\)
4. Полная сторона основания равна 2*5 = 10 см
5. Площадь основания равна:
6. \(S_{осн} = \pi R^2\) = \(\pi * 5^2\) = 25 \(\pi\)
7. Объем цилиндра равен:
8. V = \(S_{осн} * h\) = 25 \(\pi\) * 12 = 300 \(\pi \)
9. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра:
10. \(S_{бок} = 2 \pi R h\) = 2 \(\pi\) * 5 * (8\(\sqrt{3}\)) = 80\(\sqrt{3} \pi\)
11. Полная площадь равна:
12. S = 2\(S_{осн}\) + \(S_{бок}\) = 2*25 \(\pi\) + 80 \(\sqrt{3} \pi \) = 50 \(\pi\) + 80 \(\sqrt{3} \pi \) = 130 \(\pi\)

Result Card:

Математический гений: Твой уровень интеллекта: +50. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке