Контрольные задания
Вопрос:

В треугольнике MNK угол NMK равен 20°, MK = KN. Найди внешний угол при вершине K. Запиши в поле ответа только число.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

  1. В треугольнике MNK угол NMK равен 20°, то есть \( \angle NMK = 20^{\circ} \).
  2. Из условия задачи следует, что MK = KN. Это означает, что треугольник MNK является равнобедренным с основанием MN.
  3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \( \angle KMN = \angle KNM \).
  4. Так как \( \angle NMK = 20^{\circ} \), то \( \angle KMN = 20^{\circ} \) и \( \angle KNM = 20^{\circ} \).
  5. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол MNK: \( \angle MNK = 180^{\circ} - (\angle KMN + \angle KNM) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
  6. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Внешний угол при вершине K равен сумме углов MNK и NMK.
  7. Внешний угол при вершине K = \( \angle MNK + \angle NMK = 140^{\circ} + 20^{\circ} = 160^{\circ} \).
  8. Альтернативно, смежный угол с \( \angle MKN \) равен \( 180^{\circ} - \angle MKN \). \( \angle MKN = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 140^{\circ} \). Внешний угол равен \( 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).
  9. В задании указано, что MK = KN, что делает треугольник равнобедренным с основанием MN. Следовательно, углы при основании равны: \( \angle KMN = \angle KNM \).
  10. Угол NMK дан как 20°, но на рисунке он обозначен как угол при вершине M. По условию, в треугольнике MNK, угол NMK равен 20°. Предположим, что это угол \( \angle M = 20^{\circ} \).
  11. Если \( \angle M = 20^{\circ} \) и MK = KN, то \( \angle MNK = \angle MKN \).
  12. Сумма углов в треугольнике: \( \angle M + \angle MNK + \angle MKN = 180^{\circ} \).
  13. \( 20^{\circ} + 2 \angle MKN = 180^{\circ} \).
  14. \( 2 \angle MKN = 160^{\circ} \).
  15. \( \angle MKN = 80^{\circ} \).
  16. Внешний угол при вершине K равен \( 180^{\circ} - \angle MKN = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
  17. Возможно, в условии задачи имелось в виду \( \angle KMN = 20^{\circ} \). Если так, то \( \angle KNM = 20^{\circ} \) (так как MK = KN, то углы при основании MN равны).
  18. Тогда \( \angle MKN = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 140^{\circ} \).
  19. Внешний угол при вершине K = \( 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).
  20. Давайте обратимся к рисунку. Угол при вершине M обозначен как M, у основания K и N. Угол NMK равен 20°. Если это угол \( \angle M \), то \( \angle M = 20^{\circ} \).
  21. Если MK = KN, то \( \angle KNM = \angle KMN \).
  22. Тогда \( \angle KMN + \angle KNM + \angle M = 180^{\circ} \)
  23. \( 2 \angle KNM + 20^{\circ} = 180^{\circ} \)
  24. \( 2 \angle KNM = 160^{\circ} \)
  25. \( \angle KNM = 80^{\circ} \).
  26. Внешний угол при вершине K равен \( 180^{\circ} - \angle MKN \).
  27. \( \angle MKN = 80^{\circ} \).
  28. Внешний угол при вершине K = \( 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
  29. Если же угол NMK = 20° означает \( \angle K = 20^{\circ} \) (угол при вершине K), то это внутренний угол.
  30. Пусть \( \angle NMK = 20^{\circ} \) означает, что \( \angle N = 20^{\circ} \).
  31. И MK = KN, значит \( \angle KMN = \angle KNM \).
  32. \( \angle KMN + \angle KNM + \angle N = 180^{\circ} \)
  33. \( 2 \angle KNM + 20^{\circ} = 180^{\circ} \)
  34. \( 2 \angle KNM = 160^{\circ} \)
  35. \( \angle KNM = 80^{\circ} \)
  36. \( \angle MKN = 80^{\circ} \).
  37. Внешний угол при K = \( 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
  38. Опираясь на рисунок, угол NMK — это угол при вершине M.
  39. Таким образом, \( \angle M = 20^{\circ} \).
  40. Так как MK = KN, то треугольник MNK равнобедренный с основанием MN.
  41. Следовательно, углы при основании равны: \( \angle KMN = \angle KNM \).
  42. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
  43. \( \angle M + \angle KMN + \angle KNM = 180^{\circ} \).
  44. \( 20^{\circ} + 2 \angle KNM = 180^{\circ} \).
  45. \( 2 \angle KNM = 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ} \).
  46. \( \angle KNM = 160^{\circ} / 2 = 80^{\circ} \).
  47. Значит, \( \angle MKN = 80^{\circ} \).
  48. Внешний угол при вершине K равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним: \( \angle M + \angle KNM = 20^{\circ} + 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
  49. Или, внешний угол при вершине K равен \( 180^{\circ} - \angle MKN \).
  50. \( 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Ответ: 100

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ