В треугольнике MNK известно, что MN < NK < MK. Найди градусные меры ∠M, ∠N и ∠K, если один из углов равен 35°, а другой — 65°. Ответ: ∠M = °, ∠N = °, ∠K = °.

Решение:

В треугольнике MNK известно, что стороны соотносятся как \( MN < NK < MK \). Это означает, что углы, противолежащие этим сторонам, также соотносятся в том же порядке: \( \angle K < \angle M < \angle N \).

Нам даны два угла: 35° и 65°.

Случай 1: Углы равны 35° и 65°. Наибольший угол противолежит наибольшей стороне (MK), а наименьший — наименьшей стороне (MN).

• Если \( \angle K = 35° \) и \( \angle M = 65° \), то \( \angle N = 180° - 35° - 65° = 80° \). В этом случае \( \angle K < \angle M < \angle N \), что соответствует \( MN < NK < MK \).
• Если \( \angle M = 35° \) и \( \angle K = 65° \), то \( \angle N = 180° - 35° - 65° = 80° \). В этом случае \( \angle M < \angle K < \angle N \), что не соответствует \( MN < NK < MK \), так как \( \angle K \) должен быть меньше \( \angle M \).
• Если \( \angle N = 35° \) и \( \angle M = 65° \), то \( \angle K = 180° - 35° - 65° = 80° \). В этом случае \( \angle N < \angle M < \angle K \), что противоречит \( \angle K < \angle M < \angle N \).
• Если \( \angle N = 65° \) и \( \angle M = 35° \), то \( \angle K = 180° - 65° - 35° = 80° \). В этом случае \( \angle M < \angle N < \angle K \), что противоречит \( \angle K < \angle M < \angle N \).
• Если \( \angle K = 35° \) и \( \angle N = 65° \), то \( \angle M = 180° - 35° - 65° = 80° \). В этом случае \( \angle K < \angle N < \angle M \), что противоречит \( \angle K < \angle M < \angle N \).
• Если \( \angle M = 65° \) и \( \angle N = 35° \), то \( \angle K = 180° - 65° - 35° = 80° \). В этом случае \( \angle N < \angle M < \angle K \), что противоречит \( \angle K < \angle M < \angle N \).

Случай 2: Один из углов равен 35°, а другой 65°. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Если \( \angle K = 35° \) и \( \angle M = 65° \), то \( \angle N = 180° - (35° + 65°) = 180° - 100° = 80° \). Углы: \( 35°, 65°, 80° \). Стороны: \( MN \) (противолежит \( \angle K \)), \( NK \) (противолежит \( \angle M \)), \( MK \) (противолежит \( \angle N \)). Так как \( \angle K < \angle M < \angle N \) (\( 35° < 65° < 80° \)), то \( MN < NK < MK \). Это условие выполняется.

Если \( \angle M = 35° \) и \( \angle N = 65° \), то \( \angle K = 180° - (35° + 65°) = 180° - 100° = 80° \). Углы: \( 35°, 65°, 80° \). Но \( \angle K \) должен быть наименьшим, а \( 80° \) — наибольший. Это условие не выполняется.

Если \( \angle K = 65° \) и \( \angle N = 35° \), то \( \angle M = 180° - (65° + 35°) = 180° - 100° = 80° \). Углы: \( 65°, 35°, 80° \). \( \angle K \) должен быть наименьшим, а \( 65° \) — не наименьший. Это условие не выполняется.

Итак, единственно возможное распределение углов, соответствующее условию \( MN < NK < MK \), это \( \angle K = 35° \), \( \angle M = 65° \) и \( \angle N = 80° \).

Ответ: ∠M = 65°, ∠N = 80°, ∠K = 35°.