5. В треугольнике MNF известно, что ZN = 90°, ZM = 30°, отрезок FD – биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

В треугольнике MNF:

∠N + ∠M + ∠F = 180°.

Выразим ∠F: ∠F = 180° - (∠N + ∠M) = 180° - (90° + 30°) = 180° - 120° = 60°.

FD - биссектриса, следовательно, ∠DFN = 1/2 ∠F = 60° : 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник DFN, в нем ∠N = 90°, ∠DFN = 30°.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Катет DN лежит против угла ∠DFN = 30°, значит DN = 1/2 FD = 20 : 2 = 10 см.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

В треугольнике MDF:

∠M + ∠MDF + ∠DFN + ∠N = 180°.

Выразим ∠MDF: ∠MDF = 180° - (∠M + ∠DFN + ∠N) = 180° - (30° + 30° + 90°) = 180° - 150° = 30°.

В треугольнике MNF ∠M = 30°, ∠N = 90°, следовательно, катет MN лежит против угла ∠M = 30°.

MN = 1/2 MF.

Рассмотрим треугольник MNF.

MF = MD + DF.

Так как углы ∠M = ∠MDF, значит, треугольник MDF - равнобедренный, следовательно MD = DF = 20 см.

Тогда MF = MD + DF = 20 + 20 = 40 см.

MN = 1/2 MF = 1/2 × 40 = 20 см.

Ответ: 20 см