В треугольнике MNE отрезки MN и FE перпендикулярны, MN = FE, ME = 24, угол между FE и FN равен 60°. Найдите x = NE.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle MNE\) и \(\triangle FNE\).

Так как \(MN \perp NE\), то \(\angle MNE=90^\circ\). Поскольку точки \(M,F,N\) лежат на одной прямой, а угол между \(FE\) и \(FN\) равен \(60^\circ\), имеем \(\angle EFN=60^\circ\). Следовательно, в треугольнике \(FNE\):

\[\angle FEN=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.\]

В прямоугольном треугольнике \(FNE\) катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы:

\[FN=\frac{FE}{2}.\]

По условию \(MN=FE\), поэтому \(MN=2FN\). Так как \(M,F,N\) лежат на одной прямой, \(MN=MF+FN\), значит \(MF=FN\). Тогда \(\triangle MFE\) равнобедренный, и его основание \(ME=24\).

Угол при вершине \(F\) равен \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\), поэтому углы при \(M\) и \(E\) равны \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(FNE\) при \(\angle FEN=30^\circ\) гипотенуза \(FE=2FN\), а из равенства \(MF=FN\) получаем \(MF=FN\). Следовательно, \(ME=24\) является стороной, противоположной углу \(120^\circ\), и вычисление даёт \(NE=12\sqrt3\).

Ответ: \(x=12\sqrt3\).