144. В треугольнике КРЕ известно, что ∠P = 90°, ZK = 60°. На катете РЕ отметили такую точку М, что ∠KMP = = 60°. Найдите РМ, если ЕМ = 16 см.

Рассмотрим треугольник KPE, в котором ∠P = 90°, ∠K = 60°. Следовательно, ∠E = 180° - 90° - 60° = 30°.

На катете PE отмечена точка M так, что ∠KMP = 60°. Значит, ∠KME = 180° - 60° = 120°.

Рассмотрим треугольник KME. В этом треугольнике ∠KME = 120°, ∠E = 30°, следовательно, ∠MKE = 180° - 120° - 30° = 30°.

Таким образом, треугольник KME - равнобедренный, и KM = ME = 16 см.

Теперь рассмотрим треугольник KMP. В этом треугольнике ∠KMP = 60°, ∠P = 90°, следовательно, ∠MKE = 30°.

Мы знаем, что KM = 16 см. В прямоугольном треугольнике KMP катет PM, прилежащий к углу 60°, равен половине гипотенузы KM:

\[PM = \frac{KM}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}\]

Ответ: PM = 8 см.

Проверка за 10 секунд: PM = 8 см, найдено с использованием свойств углов и подобия треугольников.

Доп. профит: База Важно знать свойства углов и сторон в треугольниках для решения геометрических задач.