4. В треугольнике $$CZA$$ с прямым углом $$A$$ отрезок $$AE$$ является медианой. Найдите площадь треугольника, если $$ZA = 80$$ см, $$AE = 41$$ см.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $$CE = AE = ZE = 41$$ см. Значит, $$CZ = 2AE = 2 \cdot 41 = 82$$ см. По теореме Пифагора: $$AC^2 + ZA^2 = CZ^2$$ $$AC^2 = CZ^2 - ZA^2 = 82^2 - 80^2 = (82 - 80)(82 + 80) = 2 \cdot 162 = 324$$ $$AC = \sqrt{324} = 18$$ см. Площадь треугольника $$CZA$$ равна: $$S = \frac{1}{2} ZA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 18 = 40 \cdot 18 = 720$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь треугольника равна $$720$$ см$$^2$$.