В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 45, sinA=2/3. Найдите длину отрезка АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса угла A:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Нам известно, что \( \sin A = \frac{2}{3} \) и \( AB = 45 \). Подставим эти значения:

\( \frac{BC}{45} = \frac{2}{3} \)

Выразим длину катета BC:

\( BC = \frac{2}{3} \times 45 = 2 \times 15 = 30 \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол C в треугольнике ABC равен 90°, CH — высота, поэтому угол CHA также равен 90°.

В прямоугольном треугольнике ACH:

\( \sin A = \frac{CH}{AC} \)

В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

\( AC^2 + 30^2 = 45^2 \)

\( AC^2 + 900 = 2025 \)

\( AC^2 = 2025 - 900 = 1125 \)

\( AC = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \times 5} = 15\sqrt{5} \)

Теперь найдем длину CH, используя \( \sin A = \frac{CH}{AC} \):

\( CH = AC \times \sin A = 15\sqrt{5} \times \frac{2}{3} = 5\sqrt{5} \times 2 = 10\sqrt{5} \)

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AH:

\( AH^2 + CH^2 = AC^2 \)

\( AH^2 + (10\sqrt{5})^2 = (15\sqrt{5})^2 \)

\( AH^2 + 100 \times 5 = 225 \times 5 \)

\( AH^2 + 500 = 1125 \)

\( AH^2 = 1125 - 500 = 625 \)

\( AH = \sqrt{625} = 25 \)

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

Из \( \cos A = \frac{AC}{AB} \), находим \( AC \):

\( AC = AB \times \cos A = 45 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 15\sqrt{5} \)

В прямоугольном треугольнике ACH, \( AH = AC \times \cos A \) (так как \( \angle CAH = \angle CAB = A \)).

\( AH = 15\sqrt{5} \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 5\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5 \times 5 = 25 \)

Ответ: 25