В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС=6, cos A = 3/4. Найдите длину стороны ВС.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^\circ \), катет AC является прилежащим к углу A, а гипотенузой является сторона AB. По определению косинуса:
   \( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
2. Шаг 2: Подставляем известные значения:
   \( \frac{3}{4} = \frac{6}{AB} \)
3. Шаг 3: Находим длину гипотенузы AB:
   \( AB = \frac{6 \cdot 4}{3} = \frac{24}{3} = 8 \)
4. Шаг 4: Теперь, зная катет AC и гипотенузу AB, можем найти катет BC, используя теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
   \( 6^2 + BC^2 = 8^2 \)
   \( 36 + BC^2 = 64 \)
   \( BC^2 = 64 - 36 \)
   \( BC^2 = 28 \)
   \( BC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \)
5. Альтернативный способ (используя тангенс):
   Сначала найдем \( \sin A \). Так как \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), то \( \sin^2 A = 1 - (3/4)^2 = 1 - 9/16 = 7/16 \), следовательно \( \sin A = \sqrt{7}/4 \) (так как A - острый угол, синус положителен).
   Тогда \( \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{7}/4}{3/4} = \frac{\sqrt{7}}{3} \).
   По определению тангенса: \( \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \).
   \( \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{BC}{6} \)
   \( BC = 6 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 2\sqrt{7} \)

Ответ: \( 2\sqrt{7} \)