В треугольнике АВС угол C равен 90°, АC=6, cos A = rac{3√13}{13}. Найдите длину стороны ВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы знаем, что:

• AC = 6
• \[ \cos A = \frac{3\sqrt{13}}{13} \]

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3\sqrt{13}}{13} = \frac{6}{AB} \]

Найдем длину гипотенузы AB:

\[ AB = \frac{6 \times 13}{3\sqrt{13}} = \frac{2 \times 13}{\sqrt{13}} = 2\sqrt{13} \]

Теперь, чтобы найти длину стороны BC, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 6^2 + BC^2 = (2\sqrt{13})^2 \]

\[ 36 + BC^2 = 4 \times 13 \]

\[ 36 + BC^2 = 52 \]

Найдем BC^2:

\[ BC^2 = 52 - 36 \]

\[ BC^2 = 16 \]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти BC:

\[ BC = \sqrt{16} = 4 \]

Альтернативный способ:

Мы также можем найти BC, используя синус угла A:

\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

\[ \sin^2 A = 1 - \left(\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)^2 = 1 - \frac{9 \times 13}{13^2} = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13} \]

\[ \sin A = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \]

Теперь используем определение синуса:

\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

Мы уже нашли AB = 2√13.

\[ \frac{2\sqrt{13}}{13} = \frac{BC}{2\sqrt{13}} \]

Найдем BC:

\[ BC = \frac{2\sqrt{13}}{13} \times 2\sqrt{13} = \frac{4 imes 13}{13} = 4 \]

Ответ: 4